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    4．导数与单调性.极(最)值问题． 导数作为工具来研究三次函数.指数函数.对数函数的单调性.极值.最值时.具有其独特的优越性.要理解导数的几何意义.熟练导数的运算公式.善于借助导数解决有关的问题． 例4．已知函数.其中． (1)当满足什么条件时.取得极值? (2)已知.且在区间上单调递增.试用表示出的取值范围． 解析: (1)由已知得.令.得. 要取得极值.方程必须有解. 所以△.即. 此时方程的根为: .. 所以 w．w．w．k．s．5．u．c．o．m 当时. x (-∞.x1) x 1 (x1.x2) x2 (x2.+∞) f’(x) + 0 - 0 + f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x 1. x2处分别取得极大值和极小值． 当时. x (-∞.x2) x 2 (x2.x1) x1 (x1.+∞) F’(x) - 0 + 0 - f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x 1. x2处分别取得极大值和极小值． 综上.当满足时.取得极值． (2)要使在区间上单调递增.需使在上恒成立． 即恒成立.所以. 设.. 令得或. 当时..当时.单调增函数, 当时.单调减函数. 所以当时.取得最大.最大值为． 所以． 当时..此时在区间恒成立. 所以在区间上单调递增. 当时最大.最大值为.所以． 综上.当时. ,当时. ． 点评:本题为三次函数.利用求导的方法研究函数的极值.单调性和函数的最值.函数在区间上为单调函数.则导函数在该区间上的符号确定.从而转为不等式恒成立.再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想.化归思想和分类讨论的思想解答问题． [思想方法] [例1]若是方程的解.是 的解.则的值为( ) A． B． C． D． [解析]作出的图象.交点横坐标为.而． [答案]C [点评]该题考查了指数函数.对数函数的图象及性质．综合了函数的图象.方程的解及曲线的交点等问题．指数函数.对数函数是两类重要的基本初等函数. 高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基. 又考查对蕴含其中的函数思想.等价转化.分类讨论等思想方法的理解与运用． [例2]若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点.则实数a的取值范围是 ． [解析]设函数且和函数.则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点. 就是函数且与函数有两个交点.由图象可知当时两函数只有一个交点.不符合.当时.因为函数的图象过点(0.1).而直线所过的点一定在点(0.1)的上方.所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是． [答案] [点评]本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系.隐含着对指数函数的性质的考查.根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答．体现了对分类讨论思想的考查.分类讨论时.要注意该分类时才分类.讨论务必要全面． [例3]已知偶函数在区间单调增加.则满足＜的x 取值范围是( ) (A)(.) (B) ［.) (C)(.) (D) ［.) [解析]由于f＝f＜f().再根据f(x)的单调性.得|2x-1|＜.解得＜x＜． [答案]B [点评]该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式.体现的对转化思想的考查.同时还综合考查了函数的性质.而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调性．考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程.不等式等的综合不但是一个热点.而且成了一个固定的必考题型． [专题演练] 【查看更多】

     

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