图中的曲线叫雪花曲线(Koch　Snowflake)，它的生成方法是：

(1)将正三角形图(1)的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图(2)；

(2)将图(2)的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图(3)；

(3)再按上述方法继续做下去，就可以得到图(4)所示的曲线．

将图(1)、(2)、(3)…中的图形依次记作M₁、M₂、M₃、…．

思考1：请分别说出M₁、M₂、M₃的边数，想一想、如何得到M₄的边数？

思考2：如果知道了M_n－1的边数，我们能否知道M_n的边数？

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冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

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冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

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冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

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一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）

1．      2．    3．第四象限    

4．      5．      6．   4    7．     8．   ―2     

9． ―2或8   10．必要非充分   11． ①③④       12．    2   

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）

13．C   14．D   15．B   16．B

三、解答题（本大题满分74，共5小题）

17．解：设正四棱柱的底边长为a

    则

        …………4分

18．（本题满分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本题满分14分）

    解：设二次函数

    ，

    二次函数

    又∵m、n为正整数，  …………14分

20．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）

    解：（1）

    由定义得：当m=2时，M的轨迹是一条射线，方程为：

        ………………2分

    当时，M的轨迹是一支双曲线，方程为：

      ………………6分

   （2）∵直线l与M点轨迹交于B、C两点，∴M的轨迹方程为：

  （*） …………9分

    将m=3代入（*）式，两根异号，不符合两根均大于2

    ∴不存在m满足条件。  ………………16分

21．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）

    解：（1）由题知：

    所以   ………………4分

   （2）由题知：每个图形的边长都相等，且长度变为原来的的递推公式为

   （3）当由的小等边三角形，

    共有个。

     …………12分

      …………16分

       ………………18分

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