例1．如图.在四边形ABCD中.已知AB∥CD.直线AB.BC.AD.DC分别与平面α相交于点E.G.H.F．求证:E.F.G.H四点必定共线．解:∵AB∥CD. ∴AB.CD确定一个平面β．又∵ABα＝E.ABβ.∴E∈α.E∈β. 即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F.G.H均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点.它们有且只有一条通过公共点的公共直线. ∴E.F.G.H四点必定共线．说明:在立体几何的问题中.证明若干点共线时.常运用公理2.即先证明这些点都是某二平面的公共点.而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．已知:a.b.c.d是不共点且两两相交的四条直线.求证:a.b.c.d共面．证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点.不妨设a.b.c相交于一点A. 但AÏd.如图1． ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a.b.c分别相交于E.F.G. 则A.E.F.G∈α． ∵A.E∈α.A.E∈a.∴aα．同理可证bα.cα． ∴a.b.c.d在同一平面α内． 2o当四条直线中任何三条都不共点时.如图2． ∵这四条直线两两相交.则设相交直线a.b确定一个平面α．设直线c与a.b分别交于点H.K.则H.K∈α．又 H.K∈c.∴c,则cα．同理可证dα． ∴a.b.c.d四条直线在同一平面α内．说明:证明若干条线共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论.由题给条件中的部分线确定一个平面.然后再根据公理1证明其余的线均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点这一种情况．因此.在分析题意时.应仔细推敲问题中每一句话的含义．例3．如图.点A.B.C确定的平面与点D.E.F确定的平面相交于直线l.且直线AB与l相交于点G.直线EF与l相交于点H.试作出平面ABD与平面CEF的交线．解:如图3.在平面ABC内.连结AB.与l相交于点G.则G∈平面DEF,在平面DEF内.连结DG.与EF相交于点M.则M∈平面ABD.且M∈平面CEF．所以.M在平面ABD与平面CEF的交线上．同理.可作出点N.N在平面ABD与平面CEF的交线上．连结MN.直线MN即为所求．例4．如图.已知平面α.β.且αβ＝l．设梯形ABCD中.AD∥BC.且ABα.CDβ.求证:AB.CD.l共点．证明 ∵梯形ABCD中.AD∥BC. ∴AB.CD是梯形ABCD的两条腰． ∴ AB.CD必定相交于一点. 设ABCD＝M．又∵ABα.CDβ.∴M∈α.且M∈β．∴M∈αβ．又∵αβ＝l.∴M∈l. 即AB.CD.l共点．说明:证明多条直线共点时.一般要应用公理2.这与证明多点共线是一样的．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

9、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．