（本题满分14分）

已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线 上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，…,,… .  设点的坐标为，.

（Ⅰ）试用表示，并证明；   

（Ⅱ）试证明，且（）；

（Ⅲ）当时，求证：  （）.

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（本题满分14分）

已知曲线方程为，过原点O作曲线的切线

（1）求的方程；

（2）求曲线，及轴围成的图形面积S；

（3）试比较与的大小，并说明理由。

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一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）

1．    2．第四象限    3． 。   4．  0

5．     6． 必要不充分     7． 2      8．     9． 1

10． 6    11．①⑤    12． 2 

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）

13．B   14．D   15．C   16．D

三、解答题（本大题满分74，共5小题）

17．解：（1）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF//PB，

    所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角；

                                   ……………3分

    ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

所以异面直线AE和PB所成角的大小为   ………………8分

   （2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为  …………10分

       …………12分

18．（本题满分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本题满分14分）

    解：设二次函数

    ，

    二次函数

    又∵m、n为正整数，  …………14分

20．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）

    解：（1）；  ………………2分

    ；   ………………4分

       ………………6分

   （2）当由的小等边三角形，

    共有个。

     …………10分

      …………12分

   （3）都是等比数列，且是单调递增的数列；

    极限不存在；极限存在，   ………………14分

    雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图形。  ………………16分

   （第3小题酌情给分）

21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）

    解：（1）； ………………2分

    联立方程； …………3分

    与椭圆M相交。 …………4分

   （2）联立方程组

    消去

   （3）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线

    的距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分

    证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交

    命题得证。

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

   （4）可以类比到双曲线：设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点F₁、F₂到直线距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：

………………20分

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

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