已知函数f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x）．对任意两个不相等的正数x₁、x₂，证明：
（Ⅰ）当a≤0时，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)；
（Ⅱ）当a≤4时，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³+b³比a²b+ab²远离2ab

ab

；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

（类型A）已知函数f（x）=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x₁，x₂，证明：
（1）当a≤0时，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
（2）当a≤4时，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（类型B）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．如何组团，可使旅行社的收费最多？