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    3．讲参考例题 例1 一盒中放有大小相同的红色.绿色.黄色三种小球.已知红球个数是绿球个数的两倍.黄球个数是绿球的一半.现从该盒中随机取出一个球.若取出红球得1分.取出黄球得0分.取出绿球得-1分.试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列. 解:设黄球的个数为n.依题意知道绿球个数为2n.红球个数为4n.盒中球的总数为7n. 则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为 ξ 1 -1 0 P 例2 一个类似于细胞分裂的物体.一次分裂为二.两次分裂为四.如此继续分裂有限多次.而随机终止.设分裂n次终止的概率是.记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目.求P. 解:依题意.原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为 ξ 2 3 8 16 - - P - - 所以 P+ P =++= 例3某厂生产电子元件.其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意的连续取出2件.写出其中次品数ξ的概率分布. 解:依题意.随机变量ξ~B.所以. 因此.次品数ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 例4．重复抛掷一枚骰子5次.得到点数为6的次数记为ξ.求P. 解:依题意.随机变量ξ~B(5.) 例5涉及次品率,抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样.每次抽样后次品率将会发生变化.即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样.则各次抽样的次品率不变.各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件． 例5 一盒中装有零件12个.其中有9个正品.3个次品.从中任取一个.如果每次取出次品就不再放回去.再取一个零件.直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望． 解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ.显然ξ所有可能取的值为0.1.2.3 当ξ=0时.即第一次取得正品.试验停止.则 P= 当ξ=1时.即第一次取出次品.第二次取得正品.试验停止.则 P= 当ξ=2时.即第一.二次取出次品.第三次取得正品.试验停止.则 P= 当ξ=3时.即第一.二.三次取出次品.第四次取得正品.试验停止.则 P= 所以.Eξ= 例6涉及产品数量很大.而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大.因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小.所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题.关键是理解清楚:抽200件商品可以看作200次独立重复试验.即ξ~B.从而可用公式:Eξ=np.Dξ=npq直接进行计算. 例7 有一批数量很大的商品的次品率为1%.从中任意地连续取出200件商品.设其中次品数为ξ.求Eξ.Dξ. 解:因为商品数量相当大.抽200件商品可以看作200次独立重复试验.所以ξ~B.因为Eξ=np.Dξ=npq.这里n=200.p=1%.q=99%.所以. Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98 例8是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法.关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后.我们知道Dξ=是关于P的二次函数.这里可用配方法.也可用重要不等式证明结论. 例8 设事件A发生的概率为p.证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4. 证明: 因为ξ所有可能取的值为0.1.且P=p,所以. Eξ=0×(1-p)+1×p=p .则 Dξ=(0-p)2× 2×p=p(1-p) 例9中的两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0．1.0．2.0．4.0．1.0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110.120.125.130.135,ξB取较为分散的数值100.115.125.130.145．直观上看.猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确.需要通过计算来证明我们猜想的正确性. 例9有A.B两种钢筋.从中取等量样品检查它们的抗拉强度.指标如下: ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξA.ξB分别表示A.B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120.试比较A.B两种钢筋哪一种质量较好. 解:先比较ξA与ξB的期望值.因为 EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125. 所以.它们的期望相同．再比较它们的方差．因为 DξA=2×0.1+ 2 ×0.2+ 2×0.1+ 2×0.2=50. DξB=2×0.1+ 2 ×0.2+ 2×0.1+ 2×0.2=165. 所以.DξA < DξB.因此.A种钢筋质量较好. 例10学们身边常遇到的现实问题.比如福利彩票.足球彩票.奥运彩票等等．一般来说.出台各种彩票.政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业.同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利 的意思是指:所收资金全部用于奖品方面的费用. 例10 在有奖摸彩中.一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的.20个奖品是25元的.5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下.一张彩票的合理价格是多少元? 解:设一张彩票中奖额为随机变量ξ.显然ξ所有可能取的值为0.5.25.100.依题 意.可得ξ的分布列为 ξ 0 5 25 100 P 答:一张彩票的合理价格是0．2元． 【查看更多】

     

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