4．特别注意范围的限定． [例4]设两点在抛物线上.l是AB的垂直平分线． (Ⅰ)当且仅当取何值时.直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论, (Ⅱ)当直线l的斜率为2时.求l在y轴上截距的取值范围． 解:(Ⅰ)两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线.不同时为0. ∴上述条件等价于 ∵. ∴上述条件等价于 即当且仅当时.l经过抛物线的焦点F． 另解:(Ⅰ)∵抛物线.即. ∴焦点为 (1)直线的斜率不存在时.显然有 (2)直线的斜率存在时.设为k. 截距为b 即直线:y=kx+b 由已知得: 即的斜率存在时.不可能经过焦点 所以当且仅当=0时.直线经过抛物线的焦点F (II)(理)设l在y轴上的截距为b.依题意得l的方程为,过点A.B的直线方程可写为.所以满足方程得, A.B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 即 设AB的中点N的坐标为.则 由 即得l在y轴上截距的取值范围为()． 法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减得 , 中点在抛物线内必 [研讨．欣赏] 已知动圆过定点.且与直线相切.其中． (I)求动圆圆心的轨迹的方程, (II)设A.B是轨迹上异于原点的两个不同点.直线和的倾斜角分别为和.当变化且时.证明直线恒过定点.并求出该定点的坐标． 解:(I)如图.设为动圆圆心.为记为.过点作直线的垂线.垂足为.由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等.由抛物线的定义知.点的轨迹为抛物线.其中为焦点.为准线.所以轨迹方程为 (II)如图.设.由题意得.又直线的倾斜角满足.故.∴直线的斜率存在.否则.的倾斜角.从而设直线的方程为.显然.将与 联立消去.得由韦达定理知① 由.得 .将①式代入上式整理化简.得:此时直线的方程可表示为:.即.∴直线恒过定点 【
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