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    例1.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色.要求在①.②.③.④个区域中相邻的区域不用同一种颜色. (1)若n=6.为甲着色时共有多少种不同方法? (2)若为乙着色时共有120种不同方法.求n. 解:完成着色这件事.共分四个步骤.可依次考虑为①.②.③.④着色时各自的方法数.再由乘法原理确定决的着色方法数.因此 (1)为①着色有6种方法.为②着色有5种方法.为③着色有4种方法.为④着色也只有4种方法. ∴ 共有着色方法6×5×4×4=480种 (2)与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块.同理.不同的着色方法数是n 由n=120 ∴ (n2-3n)(n2-3n+2)-120=0 即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0 ∴ n2-3n-10=0 ∴ n=5 例2.计算下列各题: (1) (2) (3) 解:(1)原式= (2)原式= (3)原式= = 例3.按以下要求分配6本不同的书.各有几种分法? (1)平均分给甲.乙.丙三人.每人2本, (2)平均分成三份.每份2本, (3)甲.乙.丙三人一人得1本.一人得2本.一人得3本, (4)分成三份.一份1本.一份2本.一份3本, (5)甲.乙.丙三人中.一人得4本.另二人每人得1本, (6)分成三份.一份4本.另两份每份1本, (7)甲得1本.乙得1本.丙得4本 解:(1), (2) (3) (4) (5) (6) (7) 评注:有关排列组合混合题常常是先组合再排列. 例4.四面体的顶点和各棱中点共有10个点.在其中取4个不共面的点.不同的取法共有( ) A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 解:从10个点中任取4个点有种取法.其中4点共面的情况有三类.第一类.取出的4个点位于四面体的同一个面内.有种,第二类.取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点.这4点共面.有6种,第三类.由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱).它的4个点共面.有3种.以上三种情况不合要求应减掉.所以不同的取法共有(种) 例5.求(4+2x+x2)(2-x)7的展开式中x5的系数. 解:(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6 =(8-x3)[(x6-2C61x5+(-2)2C62x4+(-2)3C63x3+(-2)4C64x2+-] ∴ 含x5的项为-2×8×C61·x5-(-2)4C64x5=-336x5 ∴ x5的系数为-336 例6.已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列. (1)求展开式里所有的x的有理项, (2)求展开式里系数最大的项. 解:(1)∵ 由题设可知 解得n=8或n=1 当n=8时.通项 据题意.必为整数.从而可知r必为4的倍数.而0≤r≤8 ∴ r=0.4.8.故x的有理项为.. (3)设第r+1项的系数tr+1最大.显然tr+1>0.故有≥1且≤1 ∵ 由≥1得r≤3 又∵ 由≤1得:r≥2 ∴ r=2或r=3所求项为和 例7.设a>1.n∈N.且n≥2.求证: 证明:设.则(x+1)n=a 欲证原不等式.即证nx<(x+1)n-1.其中x>0 ∵ 即(x+1)n>nx+1.原不等式成立. 评注:由于(a+b)n的展开式共有n+1项.故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的. 例8.盒中有6只灯泡.其中2只次品.4只正品.有放回地从中任取两次.每次取一只.试求下列事件的概率: (1)取到的2只都是次品, (2)取到的2只中正品.次品各一只, (3)取到的2只中至少有一只正品. 解:从6只灯泡中有放回地任取两只.共有62=36种不同取法 (1)取到的2只都是次品情况为22=4种.因而所求概率为 (2)由于取到的2只中正品.次品各一只有两种可能:第一次取到正品.第二次取到次品,及第一次取到次品.第二次取到正品.因而所求概率为 (3)由于“取到的两只中至少有一只正品 是事件“取到的两只都是次品 的对立事件.因而所求概率为 例9.甲.乙两人独立地破译1个密码.他们能译出的密码的概率分别为和.求: (1)恰有1人译出的密码的概率, (2)至多1人译出的密码的概率, (3)若达到译出的密码的概率为.至少需要多少个乙这样的人. 解:记“甲译出密码 为事件A.“甲译不出密码 这事件,记“乙译出密码 为事件B.“乙译不出密码 为事件,“两人都译出密码 为事件C.“两人都译不出密码 为事件D,“恰有1人译出密码 为事件E,“至多1人译出密码 为事件F. (1)“恰有1人译出密码 是包括2种情况:一种是.另一种是.这两种情况不能同时发生.是互斥的. ∴ (2)“至多1人译出密码 包括两种情况:“2人都译不出密码 或“恰有1人译出密码 .即事件D+E.且事件D.E是互斥的 ∴ (3)n个乙这样的人都译不出密码的概率为.根据题意得: 解得:n=16 例10.某数学家有两盒火柴.每盒都有n根火柴.每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根.求他发现用完一盒时另一盒还有r根的概率. 解析:由题意知:数学家共用了2n-r根火柴.其中n根取自一盒火柴.n-r根取自另一盒火柴. 由于数学家取火柴时.每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根.故他用完的那一盒取出火柴的概率是.他不从此盒中取出一根火柴的概率也是. 由于所取的2n-r根火柴.有n根取自用完的那一盒的概率为: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如下图甲、乙)，要求在①、②、③、④个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．

    (1)若n…＝6，为甲着色时共有多种不同的方法？

    (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n．

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    用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、图乙），要求有公共边界的区域不能用同一种颜色。     
    （1）若n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？     
    （2）若为乙着色时共有120种不同方法，求n。

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    用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色．
    （1）若n=6，则为甲图着色的不同方法共有 ________种；
    （2）若为乙图着色时共有120种不同方法，则n=________．

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    用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色．
    （1）若n=6，则为甲图着色的不同方法共有     种；
    （2）若为乙图着色时共有120种不同方法，则n=    ．

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    9、用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色．
    （1）若n=6，则为甲图着色的不同方法共有
    480
    种；
    （2）若为乙图着色时共有120种不同方法，则n=
    5
    ．

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