定义变换T:
| cosθ•x+sinθ•y=x′ | ′sinθ•x-cosθ•y=y′ |
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可把平面直角坐标系上的点P(x,y)变换到这一平面上的点P′(x′,y′).特别地,若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合,则称点P是曲线M在变换T下的不动点.
(1)若椭圆C的中心为坐标原点,焦点在x轴上,且焦距为
2,长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求该椭圆C的标准方程.并求出当
θ=arctan时,其两个焦点F
1、F
2经变换公式T变换后得到的点F
1′和F
2′的坐标;
(2)当
θ=arctan时,求(1)中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标;
(3)试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T:
| cosθ•x+sinθ•y=x′ | ′sinθ•x-cosθ•y=y′ |
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(
θ≠,k∈Z)下的不动点的存在情况和个数.