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    已知k＞0.直线l1:y=kx.l2:y=-kx. (1)证明:到l1.l2的距离的平方和为定值a(a＞0)的点的轨迹是圆或椭圆, (2)求到l1.l2的距离之和为定值c(c＞0)的点的轨迹. (1)证明:设点P(x.y)为动点.则 +=a. 整理得+=1. 因此.当k=1时.动点的轨迹为圆, 当k≠1时.动点的轨迹为椭圆. (2)解:设点P(x.y)为动点.则 |y-kx|+|y+kx|=c. 当y≥k|x|时.y-kx+y+kx=c. 即y=c, 当y≤-k|x|时.kx-y-y-kx=c.即y=-c, 当-k|x|＜y＜k|x|.x＞0时.kx-y+y+kx=c.即x=c, 当-k|x|＜y＜k|x|.x＜0时.y-kx-y-kx=c.即x=-c. 综上.动点的轨迹为矩形. [探索题]如下图.P是抛物线C:y=x2上一点.直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直.求线段PQ中点M的轨迹方程. 分析:欲求PQ中点M的轨迹方程.需知P.Q的坐标.思路一.P.Q是直线l与抛物线C的交点.故需求直线l的方程.再与抛物线C的方程联立.利用韦达定理.中点坐标公式可求得M的轨迹方程,思路二.设出P.Q的坐标.利用P.Q的坐标满足抛物线C的方程.代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率.利用PQ的斜率就是l的斜率.可求得M的轨迹方程. 解:设P(x1.y1).Q(x2.y2).M(x0.y0).依题意知x1≠0.y1>0.y2>0. 由y=x2. ① 得y′=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1. ∴直线l的斜率kl=-=-. 直线l的方程为y-x12=-(x-x1). ② 方法一:联立①②消去y.得x2+x-x12-2=0. ∵M为PQ的中点. ∴ x0==-. y0=x12-(x0-x1). 消去x1.得y0=x02++1(x0≠0). ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). 方法二:由y1=x12.y2=x22.x0=. 得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2). 则x0==kl=-.∴x1=-. 将上式代入②并整理.得y0=x02++1(x0≠0). ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). 【查看更多】

     

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