（I）已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

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（I）已知椭圆C的方程是，设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

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一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．B  2．A  3．B  4．B  5．C  6．B  7．D  8．C  9．D  10．A  11．C  12．A

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．   14．18    15．、、   16．

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．解：(Ⅰ)

=

函数的周期，

由题意可知即，

解得，即的取值范围是

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

而

由余弦定理知

　又，

18．（I）证明：连结交于，连结

    底面是正方形，点是的中点，

    在中，是中位线，，

    而平面且平面，所以，平面

（Ⅱ）证明：底面且底面，

，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线。

   ①

同样由底面得

底面是正方形，有平面。

而平面 ②

由①和②推得平面

而平面

又且，所以平面

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，，故是二面角的平面角

由（2）知，

设正方形的边长为，则

在中，

在中，

所以，二面角的大小为

方法二；如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设

（I）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。

依题意得A（,0,0）,P(0,0, ),

底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为）

且，这表明

而平面且平面平面

（Ⅱ）证明：依题意得，

又，故

由已知，且，所以平面

（Ⅲ）解：设点的坐标为，则则

从而所以

由条件知，，即

，解得

点的坐标为，且

即，故二面角的平面角。

，且

所以，二面角的大小为（或用法向量求）

19．解：（I）设“从第一小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件B，由于事件A、B相互独立，

且

所以选出的4人均考《极坐标系与参数方程》的概率为

（Ⅱ）设可能的取值为0，1，2，3，得

的分布列为

0

1

2

3

的数学期望

20．解：由题意

（I）当时。

由得，解得，函数的单调增区间是；

由得，解得，函数的单调减区间是

当时，函数有极小值为

（2） 当时，由于，均有，

即恒成立，

，

由（I）知函数极小值即为最小值，

，解得

21．解（I）方程有且只有一个根，或

又由题意知舍去

当时，

当时，也适合此等式

（Ⅱ）

①

②

由①-②得

（Ⅲ）法一：当2时，

时，数列单调递增，

又由（II）知

法二：当时，

22．（I）⊙M过点三点，圆心既在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，的垂直平分线方程为

的中点为

的垂直平分线方程为

由④⑤得即

在直线上。

由得

椭圆的方程为

（Ⅱ）设则

是定值；