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    [例1]求角: (1)已知tanx=3,x∈[0.2π]求x的值; (2)已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, ) 求α+β. 解:(1)在上,时,tanx=3; 在上,, ∴x=arctan3或π+arctan3. (2)由;得 sinα=,从而cosα=,且cosβ=- 又α+β∈? cos=cosαcosβ-sinαsinβ=-. ∴α+βπ= 即α+β=2π-arccos ◆提炼方法:求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如本题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象.三角函数线或诱导公式写出符合条件的角. [例2]已知A.B.C是三内角.向量.且. (1)求角A, (2)若.求 解:(1)∵ ∴.即 , ∵.∴.∴ (2)由题知.整理得 ∴.∴.∴或 而使.舍去.∴ ∴ [例3]在某海滨城市附近海面有一台风.据检测.当前台 风中心位于城市O的东偏南方向 300 km的海面P处.并以20 km / h的速度向西偏北的 方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域.当前半径为60 km . 并以10 km / h的速度不断增加.问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭. 解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则 由余弦定理知 由于PO=300,PQ=20t 故 因此 解得 解法二:如图建立坐标系:以O为原点.正东方向为x轴正向. 在时刻:t(h)台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是.其中t+60. 若在t时.该城市O受到台风的侵袭.则有 即 即. 解得. 答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭 ◆提炼方法:实际应用问题.要从中找出题中的三角形和已知的边角等条件.再设计出合理的解题方案. [例4]已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象. ⑴求函数的表达式; ⑵证明当时.经过函数图象上任意两点的直线的斜率恒大于零. 解:(I) (II)证明一:依题意.只需证明函数g(x)当时是增函数 在即的每一个区间上是增函数 当时.在是增函数,则当时.经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零 [研讨.欣赏]某城市有一条公路.自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L.L在OA上设一站A.在OB上设一站B.铁路在AB部分为直线段.现要求市中心O与AB的距离为10 km.问把A.B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离. 解:在△AOB中.设OA=a.OB=b. 因为AO为正西方向.OB为东北方向.所以∠AOB=135°. 又O到AB的距离为10. ∴ 设∠OAB=α.则∠OBA=45°-α. 所以a=.b=. ab=· = = =≥. 当且仅当α=22°30′ 时.“= 成立. 所以|AB|2≥=400(+1)2. 当且仅当a=b.α=22°30′时.“= 成立. 所以当a=b==10时.即当AB分别在OA.OB上离O点10 km处.能使|AB|最短.最短距离为20(-1). 法二; - 法三:|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=(2+)ab.- ◆温馨提示:1.若直接建立|AB|2与角α的函数关系,求最值值困难;2.先视|AB|2为a,b的函数放缩,再把ab看成α的函数求出最小值; 【查看更多】

     

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