题目列表(包括答案和解析)
(1)问题探究
数学课上,李老师给出以下命题,要求加以证明.
如图1,在△ABC中,M为BC的中点,且MA=BC,求证∠BAC=90°.
同学们经过思考、讨论、交流,得到以下证明思路:
思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二 延长AM到D使DM=MA,连接DB,DC,利用矩形的知识…
思路三 以BC为直径作圆,利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程;
(2)结论应用
李老师要求同学们很好地理解(1)中命题的条件和结论,并直接运用(1)命题的结论完成以下两道题:
①如图2,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,点D在⊙O上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求证:直线BD是⊙O的切线;
②如图3,△ABC中,M为BC的中点,BD⊥AC于D,E在AB边上,且EM=DM,连接DE,CE,如果∠A=60°,请求出△ADE与△ABC面积的比值.
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请阅读如下材料
如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E是AC上的一点,AG⊥BE,垂足为点G.
求证:OE=OF.
证明:因为四边形ABCD是正方形,
所以∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OB.
又因为AG⊥BE,所以∠1+∠3=90°=∠2+∠3,即∠1=∠2
所以Rt△BOE≌Rt△AOF,所以OE=OF.
(1)根据你的理解,上述证明思路的核心是利用________使问题得以解决,而证明过程中的关键是证出________.
(2)若上述命题改为:点E在AC的延长线上,AG⊥BE交EB的延长线于点G,延长AG交DB的延长线于点F,如图,其他条件不变.
求证:OF=OE.
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