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    [例1] 求下列极限: (1); (2) (-n); (3)(++-+)． 分析:(1)因为分子分母都无极限.故不能直接运用商的极限运算法则.可通过变形分子分母同除以n2后再求极限,(2)因与n都没有极限.可先分子有理化再求极限,(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列.需先求和再求极限． 解:(1)==． (2) (-n)= ==． (3)原式===(1+)=1． ◆特别提示::对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在.∴原式无极限．对于(2)要避免出现下面两种错误: ①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在．对于(3)要避免出现原式=++-+=0+0+-+0=0这样的错误． [例2] 已知数列{an}是由正数构成的数列.a1＝3.且满足lgan＝lgan-1+lgc.其中n是大于1的整数.c是正数． (1)求数列{an}的通项公式及前n和Sn, (2)求的值． 解:(1)由已知得an＝c·an-1, ∴{an}是以a1＝3.公比为c的等比数列.则an＝3·cn-1． ∴Sn＝ (2) ＝． ①当c=2时.原式＝-; ②当c＞2时.原式＝＝-; ③当0＜c＜2时.原式=＝． 评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用． [例3] 已知直线l:x-ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x-1)2,又l与M交于点A.B.l与交于点C.D.求． 分析:要求的值.必须先求它与n的关系． 解:设圆心M到直线l的距离为d,则d2=． 又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=． 设点C(x1,y1), D(x2,y2). 由nx2-(2n+1)x+n=0, ∴x1+x2=, x1·x2=1． ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=, ∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(4n+1)(n2+1)． ∴===2． 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题．要求极限.需先求,这就要求掌握求弦长的方法． [例4]若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当(b1+b2+-+bn)≤3时,求c的取值范围． 解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立． ∴===c．又a1·a2=a2=c． ∴a1,a3,a5,-,a2n-1,-是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,-,a2n,-是首项为c,公比为c的等比数列．其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立． ∴==c．又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,-,b2n-1,-是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,-,b2n,-是首项为2c,公比为c的等比数列, ∴ (b1+b2+b3+-+bn) = (b1+b3+b5+-)+ (b2+b4+-) =+≤3． 解得c≤或c＞1．∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或-1＜c＜0． 故c的取值范围是∪(0,］． 提炼方法: 本题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式;关键是对数列特点的分析和运用;显然“起点 应是一元二次方程根与系数的关系． [研讨．欣赏]在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a＞0)个单位后,向左转90°,前进a r (0＜r＜1＝个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,-,如此连续下去． (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2)若其中的r为变量,且0＜r＜1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? 剖析:(1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置． (2)可先求最终目的地关于r的参数形式的方程． 解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q(x,y),则 x=a-ar2+ar4--==, y=ar-ar3+ar5--=, ∴大本营应在点(,)附近去寻找小分队． (2)由消去r得(x-)2+y2=(其中x＞,y＞0), 即行动的最终目的地在以(,0)为圆心,为半径的圆上． 【查看更多】

     

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