题目列表(包括答案和解析)
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a、b∈R都满足f(a·b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若Sn表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.
已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f,试证明:
(1)f(x)为奇函数;
(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线l:x=-2于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(
Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆O相切;(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.
已知函数(a为常数)
(1)若f(x)在区间[-1,2]上单调递减,求a的取值范围;
(2)若f(x)与直线y=-9相切:
(ⅰ)求a的值;
(ⅱ)设f(x)在x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(m,f(m)),x1<m<x2,若对任意的m∈(t,x2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论.
已知函数f(x)=x-ln(x+m)在定义域内连续.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)当m为何值时f(x)≥0恒成立?
(Ⅲ)给出定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,并具有单调性,且满足g(a)与g(b)异号,则方程g(x)=0在[a,b]内有唯一实根.试用上述定理证明:当且m>1时,方程f(x)=0,在[1-m,em-m]内有唯一实根(e为自然对数的底数).
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