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    2．数学思想方法是支撑数学试卷的骨架． (1)合情推理是培养创新意识的一种途径和手段． 理(10)定义在R上的函数f(x)满足.则f的值为 1 (D) 2 解析:本小题主要考查分段函数的概念及归纳推理的方法. 由已知得,,, ,, ,,, 文(7)定义在R上的函数f(x)满足.则f(3)的值为 1 (D) 2 解析:此题是理科(10)的姊妹题.本小题主要考查分段函数的概念及归纳推理的方法.答案为(B). 文(5)在R上定义运算⊙:a⊙b= a b+2 a+ b.则满足x⊙(x─2)<0的实数x的取值范围为 (C) 解析:本小题主要考查类比推理与解一元二次不等式.答案为(B). (2)数形结合是求解数学问题的有效方法和工具． 理(11)在区间[-1.1]上随机取一个数x.的值介于0到之间的概率是 (A) (B) (C) (D) 解析:本小题主要考查利用余弦函数值构造几何概型. 在区间[-1.1]上随机取一个数x,即时,, 因为 当或时.的值介于0到. 所以 根据几何概型的意义.两个区间长度之比为.故答案为(A). 文(11)在区间[-.]上随机取一个数x.的值介于0到之间的概率是 (A) (B) (C) (D) 解析:此题是理科(11)的姊妹题.本小题主要考查利用余弦函数值构造几何概型.答案为(A). 理(12)设x.y满足约束条件若目标函数的最大值为12.则的最小值为 (A) (B) (C) (D) 4 解析:本小题主要考查线性规划与基本不等式的应用和运算能力.考查数形结合的数学方法. 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z(a>0.b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0.b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=.故答案为(A). 理文(14)若函数且有两个零点.则实数a的取值范围 是 . 解析:本小题主要考查图像法解函数零点问题.答案为(1.). 理文(15)执行右边的程序框图.输出的T= . 解析:本小题主要考查循环结构框图应用.答案为30. 理(16)已知定义在R上的奇函数f(x)满足.且在区间[0.2]上是增函数.若方程在区间[-8.8]上有四个不同的根.则 . 解析:本小题主要考查抽象函数的周期性和单调性.以及数形结合的数学思想方法. 因为 定义在R上的奇函数.满足,所以. 所以 函数图象关于直线对称且. 由 .知,所以函数又是以8为周期的周期函数, 又因为 在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[–2,0]上也是增函数. 由对称性知.所以.故答案为 -8. 文(12)已知定义在R上的奇函数f(x)满足.且在区间[0.2]上是增函数.则 (A) f(-25)f(11)f f(80) f(11) f(-25) (C) f(11)f(80)f f(-25) f(80) f(11) 解析:此题是理科(16)的姊妹题.本小题主要考查抽象函数的周期性和单调性.答案为(D). 文(16)某公司租赁甲.乙两种设备生产A.B两类产品.甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件.乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元.设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件.B类产品140件.所需租赁费最少为 元. 解析:本小题主要考查线性规划的应用以及运算能力.答案为2300. (3)转化与化归是最普遍的数学思想方法． 理(17)设函数. (Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期, (Ⅱ)设A,B,C分别为的三个内角.若且C为锐角.求. 解析:本小题主要考查两角和的余弦和正弦.二倍角公式及三角函数的最值和周期的概念. (Ⅰ)法一:f(x)=cos(2x+)+sinx=. 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. 法二:“导数法 ． (Ⅱ)f()==-,所以,又因为C为锐角,所以, 所以sinA = . 理(18)如图.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.底面ABCD为等腰三角形.AB//CD.AB=4.BC=CD=2.AA1=2.E,E1,F分别是棱AD.AA1.AB的中点. (Ⅰ)证明:直线EE1//平面FCC1, (Ⅱ)求二面角B-F C1-C的余弦值. 解析:本小题主要考查底面为等腰梯形的直四棱柱中的线面平行及求二面角问题． 理(19)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中.规定每人最多投三次,在A处每投进一球得3分.在B处每投进一球得2分,如果前两次得分之和超过3分即停止投篮.否则投第三次.某同学在A处的命中率q1为0.25.在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球.然后都在B处投.用表示该同学投篮训练结束后所得的总分.其分布列为 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (Ⅰ)求q2的值, (Ⅱ)求随机变量的数学期望E, (Ⅲ)是比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 解析:本小题主要考查随机变量的概率分布与数学期望在定点投篮问题中的应用. (Ⅰ)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,. 根据分布列知: =0时.=0.03, 所以.q=0.8. (Ⅱ)当=2时, P1= =0.75 q()×2=1.5 q()=0.24. 当=3时, P2 ==0.01, 当=4时, P3==0.48, 当=5时, P4= =0.24. 所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望. (Ⅲ)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ; 该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大. 理(20)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对于任意的.点(n, Sn)均在函数且均为常数)的图像上. (Ⅰ)求r的值, (Ⅱ)当b=2时.记. 证明:对于任意的.不等式成立. 解析:本小题主要考查等比数列的概念与不等式证明. (Ⅰ)因为对任意的,点均在函数且均为常数的图像上.所以得, 当时,, 当时,, 又因为{}为等比数列,所以,公比为,. (Ⅱ)当b=2时., . 则,所以. 可以用数学归纳法或放缩法证明不等式: 成立. 以下略. 理(21)两县城A和B相距20公里.先计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂.其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为xkm.建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比.比例系数为4.对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比.比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧的中点时.对城A和城B的总影响度为0.065. (Ⅰ)将y表示成x的函数, 中函数的单调性.并判断上是否存在一点.使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在.求出该点到城A的距离,若不存在.说明理由. 解析:本小题主要考查函数应用问题.垃圾处理厂的选点对两城市的影响度.反比概念和导数求极值的方法. (Ⅰ)如图,由题意知AC⊥BC,,. 其中当时.y=0.065,所以k=9. 所以y表示成x的函数为. (Ⅱ)法一:利用导数求函数的最小值. 法二:令.则. . 理(22)设椭圆E:过两点.O为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E的方程, (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B.且?若存在.写出该圆的方程.并求的取值范围,若不存在.说明理由. 解析:本小题主要考查待定系数法求椭圆方程.圆的方程与切线.垂直的概念及方法.弦长的最值问题. (Ⅰ)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2.).N(,1)两点, 所以 解得 所以 椭圆E的方程为 . (Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 法一:设该圆的切线方程为. 解方程组 得,即, 则△=, 即. , 要使,需使,即, 所以,所以. 又,所以,所以,即或. 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 ,,, 所求的圆为,此时圆的切线都满足或, 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或.满足. 综上, 存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 推广:设椭圆E:.O为坐标原点. (Ⅰ)是否存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B.且?若存在.写出该圆的方程.并求的取值范围,若不存在.说明理由. (Ⅱ)设直线l与圆C:相切于A1.且l与椭圆E只有一个公共点B1.当R为何值时.取得最大值?并求最大值. 文(22)设.在平面直角坐标系中.已知向量a=(mx,y+1).向量b=(x,y-1).ab.动点M(x,y)的轨迹为E. (Ⅰ)求轨迹E的方程.并说明该方程所表示曲线的形状, (Ⅱ)已知m=.证明:存在圆心在坐标原点的圆.使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B.且OAOB(O为坐标原点).并求该圆的方程, (Ⅲ)已知m=.设直线l与圆C:相切于A1.且l与轨迹E只有一个公共点B1.当R为何值时.取得最大值?并求最大值. 解析:本小题主要考查平面向量的数量积运算与含参数的二元二次方程类型的讨论,圆的方程与切线.垂直的概念及方法,圆与椭圆公切线长的问题. (Ⅰ). 因此.轨迹E的方程为. 文(17)已知函数在处取最小值. (Ⅰ)求的值, (Ⅱ)中.a,b,c分别是角A,B,C的对边.已知a=1.b=..求角C. 解析:本小题主要考查两角和的三角函数与倍角公式.弦函数的最值.由三角函数值求角(学生最易出错的问题之一).正弦定理的应用小题两解.难于理科对应题). 文(18)如图.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.底面ABCD为等腰三角形.AB//CD.AB=4.BC=CD=2.AA1=2.E,E1分别是棱AD.AA1的中点. (Ⅰ)设F是棱AB的中点.证明:直线EE1//平面FCC1, (Ⅱ)证明:平面D1AC平面BB1C1C. 解析:理科(18)姊妹题.本小题主要考查空间线面平行与垂直的位置关系和推理论证能力. 文(19)一汽车厂生产A.B.C三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号.某月的产量如下表: 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆.其中有A类轿车10辆. (Ⅰ)求z的值, (Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体.从中任取2辆.求至少有1辆舒适型轿车的概率, (Ⅲ)用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆.经检验它们的得分如下:9.4.8.6.9.2.9.6.8.7.9.3.9.0.8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体.从中任取一个数.求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解析:本小题主要考查分层抽样的方法与古典概型的应用. 文(20)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对于任意的.点(n, Sn)均在函数且均为常数)的图像上. (Ⅰ)求r的值, (Ⅱ)当b=2时.记.求数列{bn}的前n项和Tn. 解析:理科(20)的姊妹题.本小题主要考查等比数列的概念与数列的错项求和. 文(21)已知函数.其中. (Ⅰ)当a,b满足什么条件时.f(x)取得极值? (Ⅱ)已知.且f(x)在区间(0.1]上单调递增.试用a表示出b的取值范围. 解析:本小题主要考查三次函数的极值存在问题.双参数的函数最值问题. (Ⅰ)..即时函数f(x)取得极值. 不讨论的情况.不扣分.但是要分讨论. (Ⅱ)由题意恒成立. 解法一:.令. 下面只要求出的最大值即可. 解法二:. 下面只要求出的最小值即可. 【查看更多】

     

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