已知数列是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列。

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求数列的前项和。

【解析】第一问中利用等差数列的首项为，公差为d，则依题意有：

第二问中，利用第一问的结论得到数列的通项公式，

，利用裂项求和的思想解决即可。

 

设S _n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a _n}的前n项和，则下列命题错误的是

A．若d＜0，则数列{S _n}有最大项

B．若数列{S _n}有最大项，则d＜0

C．若数列{S _n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S _n＞0

D．若对任意的nN*，均有S _n＞0，则数列{S _n}是递增数列

【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S _n}是递增数列，但是S _n＞0不成立．

【答案】C

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q,且b₂+ S₂=12，.（Ⅰ）求a_n 与b_n；（Ⅱ）设数列{c_n}满足，求{c_n}的前n项和T_n.

【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用。第一问中，利用等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q,且b₂+ S₂=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通项公式故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.     第二问中，，由第一问中知道，然后利用裂项求和得到T_n.

解： (Ⅰ) 设：{a_n}的公差为d,

因为解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因为……………8分

 

设为实数,首项为,公差为的等差数列的前n项和为,满足

(1)若,求及;

(2)求d的取值范围.

【解析】本试题主要考查了数列的求和的运用以及通项公式的运用。第一问中，利用和已知的，得到结论

第二问中，利用首项和公差表示，则方程是一个有解的方程，因此判别式大于等于零，因此得到d的范围。

解：(1)因为设为实数,首项为,公差为的等差数列的前n项和为,满足

所以

(2)因为

得到关于首项的一个二次方程，则方程必定有解，结合判别式求解得到

 

已知是等差数列，其前n项和为S_n，是等比数列，且，.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明（）.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

由，得，，.

由条件，得方程组，解得

所以，，.

（2）证明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：数学归纳法）

①  当n=1时，，，故等式成立.

②  假设当n=k时等式成立，即，则当n=k+1时，有：

   

   

即，因此n=k+1时等式也成立

由①和②，可知对任意，成立.