练习册

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    例1.设椭圆的左.右焦点分别为是椭圆上的一点..原点到直线的距离为． (Ⅰ)证明, (Ⅱ)设为椭圆上的两个动点..过原点作直线的垂线.垂足为.求点的轨迹方程． (Ⅰ)证法一:由题设及..不妨设点.其中．由于点在椭圆上.有.即． 解得.从而得到． 直线的方程为.整理得． 由题设.原点到直线的距离为.即. 将代入上式并化简得.即． 证法二:同证法一.得到点的坐标为． 过点作.垂足为.易知.故． 由椭圆定义得.又. 所以. 解得.而.得.即． (Ⅱ)解法一:设点的坐标为． 当时.由知.直线的斜率为.所以直线的方程为.或.其中.． 点的坐标满足方程组 将①式代入②式.得. 整理得. 于是.． 由①式得 ． 由知．将③式和④式代入得. ． 将代入上式.整理得． 当时.直线的方程为.的坐标满足方程组 所以.． 由知.即. 解得． 这时.点的坐标仍满足． 综上.点的轨迹方程为 ． 解法二:设点的坐标为.直线的方程为.由.垂足为.可知直线的方程为． 记(显然).点的坐标满足方程组 由①式得． ③ 由②式得． ④ 将③式代入④式得． 整理得. 于是． ⑤ 由①式得． ⑥ 由②式得． ⑦ 将⑥式代入⑦式得. 整理得. 于是． ⑧ 由知．将⑤式和⑧式代入得. ． 将代入上式.得． 所以.点的轨迹方程为． 例2.已知一列椭圆:..若椭圆上有一点使到右准线的距离是|与的等差中项.其中分别是的左.右焦点. (Ⅰ)试证: , (Ⅱ)取.并用表示的面积.试证:且. 图(22) 证:(1)由题设及椭圆的几何性质有 设 因此.由题意应满足 即 即, 从而对任意 (Ⅱ)设点 得两极.从而易知f(c)在(.)内是增函数.而在(.1)内是减函数. 现在由题设取是增数列.又易知 故由前已证.知 例3.已知动圆过定点.且与直线相切.其中.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程,(Ⅱ)设是轨迹上异于原点的两个不同点.直线和的倾斜角分别为和.当变化且为定值时.证明直线恒过定点.并求出该定点的坐标. 解:(I)如图.设为动圆圆心.记为.过点作直线的垂线.垂足为.由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等 由抛物线的定义知.点的轨迹为抛物线.其中为焦点.为准线 ∴轨迹方程为, (II)如图.设.由题意得(否则)且 ∴直线的斜率存在.设其方程为 显然 将与联立消去.得 由韦达定理知 ① (1)当时.即时. ∴. ∴ 由①知: ∴ 因此直线的方程可表示为.即 ∴直线恒过定点 (2)当时.由.得== 将①式代入上式整理化简可得:.则. 此时.直线的方程可表示为即 ∴直线恒过定点 综上.由知.当时.直线恒过定点.当时直线恒过定点. 例4.如图.直线:与直线:之间的阴影区域记为W.其左半部分记为.右半部分记为.(Ⅰ)分别用不等式组表示和,(Ⅱ)若区域中的动点到.的距离之积等于.求点的轨迹的方程,(Ⅲ)设不过原点的直线与(Ⅱ)中的曲线相交于两点.且与.分别交于两点. 求证的重心与的重心重合. [答案] [详解] 解:(I) (II)直线直线,由题意得 即 由知 所以即 所以动点P的轨迹方程为 (III)当直线与轴垂直时,可设直线的方程为由于直线.曲线C关于轴对称, 且与关于轴对称,于是的中点坐标都为,所以 的重心坐标都为,即它们的重心重合. 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为 由,得 由直线 与曲线C有两个不同交点,可知,且 设的坐标分别为 则 设的坐标分别为 由 从而 所以 所以 于是的重心与的重心也重合. [名师指津] 本题为解析几何的综合题型,在高考试题中解析经常会与函数.数列.不等式.向量等综合考查各种数学思想及方法. 【查看更多】

     

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