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    [例1] 已知椭圆的左焦点为F.O为坐标原点. (I)求过点O.F.并且与椭圆的左准线相切的圆的方程, (II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A.B两点.线段AB的垂直平分线与轴交于点G.求点G横坐标的取值范围. 解:(I) 圆过点O.F. 圆心M在直线上. 设则圆半径 由得 解得 所求圆的方程为 (II)设直线AB的方程为 代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F.方程有两个不等实根. 记中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令得 点G横坐标的取值范围为 [例2]如图.以椭圆的中心为圆心.分别以和为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线． (1)证明.并求直线与轴的交 点的坐标, (2)设直线交椭圆于.两点.证明 ． (Ⅰ)证明:由题设条件知.∽故 .即 因此. ① 解:在中 ． 于是.直线OA的斜率．设直线BF的斜率为.则 ． 这时.直线BF与轴的交点为 .得直线BF得方程为且 ② 由已知.设..则它们的坐标满足方程组 ③ 由方程组③消去.并整理得 ④ 由式①.②和④. 由方程组③消去.并整理得 ⑤ 由式②和⑤. 综上.得到 注意到.得 [例3]A.B.C是我方三个炮兵阵地.A在B正东6 km.C在B正北偏西30°.相距4 km.P为敌炮阵地.某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号.由于B.C两地比A距P地远.因此4 s后.B.C才同时发现这一信号.此信号的传播速度为1 km/s.A若炮击P地.求炮击的方位角． 解:如下图.以直线BA为x轴.线段BA的中垂线为y轴建立坐标系.则 B.A(3.0).C(-5.2)． 因为|PB|=|PC|.所以点P在线段BC的垂直平分线上． 因为kBC=-.BC中点D(-4.). 所以直线PD的方程为y-=(x+4) ① 又|PB|-|PA|=4.故P在以A.B为焦点的双曲线右支上． 设P(x.y).则双曲线方程为-=1(x≥0) ② 联立①②.得x=8.y=5. 所以P(8.5)．因此kPA==． 故炮击的方位角为北偏东30°． [例4] 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验． 设计方案如图:航天器运行的轨迹方程为.变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴. 为顶点的抛物线的实线部分.降落点为． 观测点同时跟踪航天器． (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程, (2)试问:当航天器在轴上方时.观测点测得离航天器的距离分别为多少时.应向航天器发出变轨指令? 解(1)设曲线方程为. 由题意可知.． ． 曲线方程为 (2)设变轨点为.根据题意可知 得 . 或． ． 得 或． 点的坐标为. ． 答:当观测点测得距离分别为时.应向航天器发出变轨指令． [研讨．欣赏]已知一列椭圆..若椭圆上有一点.使到右准线的距离是与的等差中项.其中.分别是的左.右焦点. (Ⅰ)试证:, (Ⅱ)取.并用表示的面积.试证:且 证:(I)由题设及椭圆的几何性质有.故. 设.则右准线方程为． 因此.由题意应满足即解之得:. 即.从而对任意． (II)设点的坐标为.则由及椭圆方程易知 . 因.故的面积为. 从而. 令.由.得两根从而易知函数在内是增函数.而在内是减函数. 现在由题设取则是增数列. 又易知. 故由前已证.知.且. 说明:如果建立Sn与n的函数,讨论单调性比较复杂. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (2006福建，20)如下图，已知椭圆的左焦点F，O为坐标原点．

    (1)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

    (2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

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