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    9．如下图.某隧道设计为双向四车道.车道总宽22 m.要求通行车辆限高4．5 m.隧道全长2．5 km.隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状． (1)若最大拱高h为6 m.则隧道设计的拱宽l是多少? (2)若最大拱高h不小于6 m.则应如何设计拱高h和拱宽l.才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小? (半个椭圆的面积公式为S=lh.柱体体积为底面积乘以高．本题结果均精确到0．1 m) (1)解:如下图建立直角坐标系.则点P. 椭圆方程为+=1．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程.得a=.此时l=2a=≈33．3．因此隧道的拱宽约为33．3 m． (2)解法一:由椭圆方程+=1.得+=1． 因为+≥.即ab≥99.且l=2a.h=b.所以S=lh=≥． 当S取最小值时.有==. 得a=11.b=． 此时l=2a=22≈31．1.h=b≈6．4． 故当拱高约为6．4 m.拱宽约为31．1 m时.土方工程量最小． 解法二:由椭圆方程+=1. 得+=1． 于是b2=·． a2b2=(a2-121++242)≥(2+242)=81×121. 即ab≥99.当S取最小值时. 有a2-121=． 得a=11.b=.以下同解法一． 10 已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E.直线y＝kx-1与曲线E交于A.B两点 如果且曲线E上存在点C.使求 解:由双曲线的定义可知.曲线是以为焦点的双曲线的左支. 且.易知 故曲线的方程为 设.由题意建立方程组 消去.得 又已知直线与双曲线左支交于两点.有 解得 又∵ 依题意得 整理后得 ∴或 但 ∴ 故直线的方程为 设.由已知.得 ∴. 又. ∴点 将点的坐标代入曲线的方程.得 得.但当时.所得的点在双曲线的右支上.不合题意 ∴.点的坐标为 到的距离为 ∴的面积 [探索题]已知某椭圆的焦点是F1.F2(4.0).过点F2.并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B.且|F1B|+|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A(x1.y1).C(x2.y2)满足条件:|F2A|.|F2B|.|F2C|成等差数列． (1)求该椭圆的方程, (2)求弦AC中点的横坐标, (3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx+m.求m的取值范围． (1)解:由椭圆定义及条件知 2a＝|F1B|+|F2B|＝10.得a＝5．又c＝4. 所以b＝＝3． 故椭圆方程为+＝1． (2)解:由点B(4.yB)在椭圆上.得|F2B|＝|yB|＝． 方法一:因为椭圆右准线方程为x＝.离心率为． 根据椭圆定义.有|F2A|＝(-x1).|F2C|＝(-x2)． 由|F2A|.|F2B|.|F2C|成等差数列.得 (-x1)+(-x2)＝2×． 由此得出x1+x2＝8． 设弦AC的中点为P(x0.y0). 则x0＝＝＝4． 方法二:由|F2A|.|F2B|.|F2C|成等差数列.得+＝2×. ① 由A(x1.y1)在椭圆+＝1上.得 y12＝(25-x12). 所以 = ＝＝(25-4x1) ② 同理可得＝(25-4x2) ③ 将②③代入①式.得 (25-4x1)+(25-4x2)＝． 所以x1+x2＝8． 设弦AC的中点为P(x0.y0). 则x0＝＝＝4． (3)解法一:由A(x1.y1).C(x2.y2)在椭圆上.得 9x12+25y12＝9×25. ④ 9x22+25y22＝9×25． ⑤ 由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)＝0. 即9()+25()()＝0(x1≠x2)． 将＝x0=4.＝y0.＝-(k≠0)代入上式.得 9×4+25y0(-)＝0(k≠0)． 由上式得k＝y0(当k＝0时也成立)． 由点P(4.y0)在弦AC的垂直平分线上.得 y0＝4k+m. 所以m＝y0-4k＝y0-y0＝-y0． 由P(4.y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部.得-＜y0＜． 所以-＜m＜． 评述:在推导过程中.未写明“x1≠x2 “k≠0 “k＝0时也成立 及把结论写为“-≤m≤ 也可以． 解法二:因为弦AC的中点为P(4.y0). 所以直线AC的方程为 y-y0＝-(x-4)(k≠0)． ⑥ 将⑥代入椭圆方程+＝1.得 (9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2＝0． 所以x1+x2＝＝8． 解得k＝y0(当k＝0时也成立)． 以下步骤同解法一． 【查看更多】

     

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