解法一:(Ⅰ)平面.平面.. 又.. .. .即. 又.平面. -------..6分 (Ⅱ)连接. 平面... 为二面角的平面角. 在中.. .. 二面角的大小为. ---------..12分 解法二:(Ⅰ)如图.建立坐标系. 则..... ... ... 又.面. (Ⅱ)设平面的法向量为. 设平面的法向量为. 则n, n 解得 . .n>.二面角的大小为. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,在四棱锥中,⊥底面,底面为正方形,分别是的中点.

(I)求证:平面

(II)求证:

(III)设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.

【解析】第一问利用线面平行的判定定理,,得到

第二问中,利用,所以

又因为,从而得

第三问中,借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.

(Ⅰ)证明: 分别是的中点,    

.       …4分

(Ⅱ)证明:四边形为正方形,

.    ………8分

(Ⅲ)解:连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,

 

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壮怀激烈千古恨 初出茅庐志已衰

  继萨凯里之后,大概又过了半个世纪.欧洲“数学之王”高斯的至友匈牙利数学家伏尔夫刚·鲍里埃,终身从事证明“第五公设”的研究,由于心血耗尽,毫无成效,便怀着沉重的心情,给那酷爱数学的儿子亚诺什·鲍耶(1802~1860)写信,希望小鲍耶“不要再做克服平行公理的尝试”.他忠告儿子说:“投身于这一贪得无度地吞人们的智慧、精力和心血的无底洞,白花时间在上面,一辈子也证不出这个命题来.”他满腹心酸地写到:“我经过了这个毫无希望的夜的黑暗,我在这里面埋没了人生的一切亮光、一切欢乐和一切希望.”最后告诫自己心爱的儿子说:“若再痴恋这一无止无休的劳作,必然会剥夺你生活的一切时间、健康、休息和幸福!”但是,年仅21岁的小鲍耶却是敢向“无底洞”觅求真知的探索者.他认真吸取前人失败的教训,初出茅庐就大显身手.小鲍耶匠心独运,大胆创新,决然将“第五公设”换成他自身的否定.从“三角形三个内角和小于180°”这一令人瞠目结舌的假设出发,建立起一套完整协调、天衣无缝的新几何体系.小鲍耶满怀激情地将自己的科学创见向父亲报捷.老伏尔夫刚以之见教于至友高斯,不久,高斯复信鲍里埃,信中写到:“如果我一开始便说我不能称赞这样的成果,你一定会感到惊讶.但是,我不能不这样说,因为称赞这些成果就等于称赞我自己.令郎的这些工作,他走过的路,以及所获得的成果,跟我过去30年至35年前的所思所得几乎一模一样.”高斯在回信结尾还开诚布公地提到:“我自己的著作,尽管写好的只是一部分,我本来也想发表,因为我怕引某些人的喊声,现在,有了朋友的儿子能够这样写下来,免得他与我一样湮没,那是使我非常高兴的.”这位当代数学大师恐怕做梦也没想到,他这封推心置腹的信,竟会一举撞毁初露锋芒的数坛新星!

  高斯的复信给小鲍耶带来意想不到的毁灭性打击.踌躇满志的鲍耶误认为高斯动用自己拥有的崇高权威来垄断和夺取这一新体系的发明优先权.为此,他痛心疾首,认为自己心血浇灌出来的成果和呕心沥血的辛勤工作,竟得不到大家的理解、支持和同情.于是郁郁寡欢,大失所望,发誓抛弃了一切数学研究.

1.对于“数学之王”高斯给鲍耶的回信,你有什么看法呢?如果你是高斯,你该怎样回信?

2.踌躇满志的鲍耶误认为“高斯动用自己拥有的崇高权威来垄断和夺取这一新体系的发明优先权”,进而“郁郁寡欢,大失所望,发誓抛弃了一切数学研究”.你又有何看法呢?假如你是鲍耶,你又该怎么做呢?

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如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,的交点,是线段的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面

(Ⅲ)求二面角的大小.

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又平面平面,∴平面,又,∴平面. 可得证明

(3)因为∴为面的法向量.∵

为平面的法向量.∴利用法向量的夹角公式,

的夹角为,即二面角的大小为

方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点

,又点,∴

,且不共线,∴

平面平面,∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵

,即

,∴平面.   ………8分

(Ⅲ)∵,∴平面

为面的法向量.∵

为平面的法向量.∴

的夹角为,即二面角的大小为

 

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材料:采访零向量

  W:你好!零向量.我是《数学天地》的一名记者,为了让在校的高中生更好了解你,能不能对你进行一次采访呢?

  零向量:当然可以,我们向量王国随时恭候大家的光临,很乐意接受你的采访,让高中生朋友更加了解我,更好地为他们服务.

  W:好的,那就开始吧!你的名字有什么特殊的含义吗?

  零向量:零向量就是长度为零的向量,它与数字0有着密切的联系,所以用0来表示我.

  W:你与其他向量有什么共同之处呢?

  零向量:既然我是向量王国的一个成员,就具有向量的基本性质,如既有大小又有方向,在进行加、减法运算时满足交换律和结合律,还定义了与实数的积.

  W:你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢?

  零向量:首先,我的方向是不定的,可以与任意的向量平行.其次,我还有其他一些向量所没有的特殊待遇:如我的相反向量仍是零向量;在向量的线性运算中,我与实数0很有相似之处.

  W:你有如此多的荣耀,那么是否还有烦恼之事呢?

  零向量:当然有了,在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意,如平行向量的定义,向量共线定理,两向量夹角的定义都对我进行了限制.所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼,在此我向大家真诚地说一声:对不起,这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面.

  W:OK!采访就到这里吧,非常感谢你的合作,再见!

  零向量:Bye!

阅读上面的材料回答下面问题.

应用零向量时应注意哪些问题?

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同步练习册答案