例1.设函数.其中． (Ⅰ)当时.判断函数在定义域上的单调性, (Ⅱ)求函数的极值点, (Ⅲ)证明对任意的正整数.不等式都成立． 解:(Ⅰ)由题意知.的定义域为. 设.其图象的对称轴为. ． 当时.. 即在上恒成立. 当时.. 当时.函数在定义域上单调递增． 得.当时.函数无极值点． ②时.有两个相同的解. 时.. 时.. 时.函数在上无极值点． ③当时.有两个不同解... 时... 即.． 时..随的变化情况如下表: 极小值 由此表可知:时.有惟一极小值点. 当时.. . 此时..随的变化情况如下表: 极大值 极小值 由此表可知:时.有一个极大值和一个极小值点, 综上所述: 时.有惟一最小值点, 时.有一个极大值点和一个极小值点, 时.无极值点． (Ⅲ)当时.函数. 令函数. 则． 当时..所以函数在上单调递增. 又． 时.恒有.即恒成立． 故当时.有． 对任意正整数取.则有． 所以结论成立． 例2.已知函数.(Ⅰ)设.讨论的单调性,(Ⅱ)若对任意恒有.求的取值范围. 解的定义域为.对f= e-ax. = e-2x, f '和均大于0, 所以f.为增函数. (ⅱ)当0<a<2时, f '在为增函数. (ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= - , x2= . 当x变化时, f '的变化情况如下表: x (-,) (,1) f '(x) + - + + f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f, 在(-,)为减函数. 当0<a≤2时, 由恒有f=1. (ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈知 f(x0)<f(0)=1 (ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e-ax≥1,得 f(x)= e-ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈>1. 例3.已知函数.其中为参数.且．(1)当时.判断函数是否有极值,(2)要使函数的极小值大于零.求参数的取值范围,中所求的取值范围内的任意参数.函数在区间内都是增函数.求实数的取值范围. (Ⅰ)当时..则在内是增函数.故无极值 (Ⅱ).令.得 由(Ⅰ).只需分下面两种情况讨论 ①当时.随x的变化的符号及的变化情况如下表: x 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此.函数在处取得极小值. 且 要使.必有.可得 由于.故 ②当时.随x的变化.的符号及的变化情况如下表: + 0 - 0 + 极大值 极小值 因此.函数处取得极小值.且 若.则.矛盾.所以当时.的极小值不会大于零 故参数的取值范围为 知.函数在区间与内都是增函数 由题设.函数内是增函数.则a须满足不等式组 或 由(II).参数时时. 要使不等式关于参数恒成立. 必有.即 解得或 所以的取值范围是 例4.如图1.将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形.再沿虚线折起.做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时.其容积最大. 【
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