已知a＞b＞0F是方程

x2

b2

+

y2

a2

=1的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，

PF

与x轴平行，

PF

=

a

4

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

i

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，

i

⊥

n

原点O与A、B两点构成的△AOB的面积为S
（I ）求椭圆E的离心率
（II）设椭圆E上的点与椭圆£的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，S是否为定值？如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由．

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边
形周长等于8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M、N是直线x=4上的两个动点，且

F1M

-

F2N

=0．设E是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆E的位置关系．

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

3

2

，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为

6 5

5

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求

EP

•

QP

的取值范围．

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4

5

x的焦点，离心率是

6

3

（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（-1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）对（1）中的椭圆C，直线y=x+1与C交于P、Q两点，求|PQ|的值；
（3）设B为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴的一个端点，F为椭圆C的一个焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ．当椭圆C同时满足下列两个条件：①

π

6

≤θ≤

π

4

；②a²+b²=2a²b²．求椭圆长轴的取值范围．