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    例1.数列的前项和为.已知 (Ⅰ)写出与的递推关系式.并求关于的表达式,(Ⅱ)设.求数列的前项和. 解:由得:.即.所以.对成立. 由..-.相加得:.又.所以.当时.也成立. (Ⅱ)由.得. 而. . . 例2.已知函数.是方程的两个根().是的导数.设.． (1)求的值, (2)证明:对任意的正整数.都有, (3)记.求数列的前项和． 已知函数.是方程f(x)=0的两个根.是f(x)的导数,设. (1)求的值, (2)证明:对任意的正整数n.都有>a, (3)记.求数列{bn}的前n项和Sn. 解析:(1)∵.是方程f(x)=0的两个根. ∴, (2). =.∵.∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号).∴同.样.--.. (3).而.即. .同理..又 . 例3.数列满足. (Ⅰ)用数学归纳法证明:, (Ⅱ)已知不等式对成立.证明:.其中无理数e=2.71828-. 当n=2时..不等式成立. (2)假设当时不等式成立.即 那么. 这就是说.当时不等式成立. 根据可知:成立. (Ⅱ)证法一: 由递推公式及(Ⅰ)的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得 即 (Ⅱ)证法二: 由数学归纳法易证成立.故 令 取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因 故成立. 【查看更多】

     

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