(福建省厦门市2008学年高三质量检查) 如图.三棱锥P-ABC中.PC⊥平面ABC.PC＝AC＝2.AB＝BC.D是PB上一点.且CD⊥平面PAB. (1)求证:AB⊥平面PCB, (2)求二面角C-PA-B的大小的余弦值. (1)解:∵PC⊥平面ABC.AB平面ABC. ∴PC⊥AB. ∵CD⊥平面PAB.AB平面PAB. ∴CD⊥AB. 又PC∩CD＝C. ∴AB⊥平面PCB. (2)解法一: 取AB的中点E.连结CE.DE. ∵PC＝AC＝2.∴CE⊥PA.CE＝ ∵CD⊥平面PAB. 由三垂线定理的逆定理.得DE⊥PA. ∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角. 由(1)AB⊥平面PCB.∴AB⊥BC. 又∵AB＝BC.AC＝2.求得BC＝ (2)解法二: ∵AB⊥BC.AB⊥平面PBC.过点B作直线l∥PA. 则l⊥AB.l⊥BC.以BC.BA.l所在直线为x.y. z轴建立空间直角坐标系.----6分 设平面PAB的法向量为 得 ----8分 设平面PAC的法向量为. 解得 ----10分 ----11分 ----12分 (2)解法三: ∵CD⊥平面PAB.∴是平面PAB的一个法向量. 取AC中点F.∵AB＝BC＝.∴BF⊥AC. 又PC⊥平面ABC.有平面PAC⊥平面ABC. ∴BF⊥平面PAC.∴是平面PAC的一个法向量. ----7分 ----9分 ----10分 【
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