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    3．小船渡河问题 一条宽度为L的河.水流速度为Vs.已知船在静水中的航速为Vc.船过河时.船的实际运动可以看成是随水以速度Vs漂流的运动和以Vc相对于静水的划行运动的合运动.随水漂流和划行这两个分运动互不干扰而具有等时性. (1)怎样渡河时间最短? 如图2-甲所示.设船头斜向上游与河岸成任意角θ.这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为: 可以看出:L.Vc一定时.t随sinθ增大而减小,当θ=900时.sinθ=1.所以.当船头与河岸垂直时.渡河时间最短.. (2)若Vs＜Vc.怎样渡河位移最小? 如图2-乙所示.渡河的最小位移即河的宽度.为了使渡河位移等于L.必须使船的合速度V的方向与河岸垂直.这是船头应指向河的上游.并与河岸成一定的角度θ.根据三角函数关系有:Vccosθ─Vs=0. 所以θ=arccos(Vs/Vc).因为0≤cosθ≤1.所以只有在Vc>Vs时.船才有可能垂直于河岸横渡. (3)若Vs＞Vc.怎样渡河位移最短? 如果水流速度大于船在静水中的航行速度.则不论船的航向如何.总是被水冲向下游.怎样才能使船的位移最短呢?如图2-丙所示.设船头Vc与河岸成θ角.合速度V与河岸成α角.可以看出:α角越大.船的位移越短.那么.在什么条件下α角最大呢?以Vs的矢尖为圆心.以Vc为半径画圆.当v与圆相切时.α角最大.根据cosθ=Vc/Vs.船头与河岸的夹角应为:θ=arccos(Vc/Vs) 此时渡河的最短位移为: 思考:过河的最短时间和最短位移分别决定于什么? 例5 河宽d=100m .水流速度为v1=4m/s.船在静水中的速度是v2=3m/s.求: ⑴ 欲使船渡河时间最短.船应怎样渡河?最短时间是多少?船经过的位移是多大? ⑵ 欲使船航行距离最短.船应怎样渡河?渡河时间多长? 解析: 设想水不流动.则船将以v1速度做匀速直线运动.设想船不开行.则船将以v2速度顺水飘流.可见实际渡河时.渡船同时参与两个分运动.其合运动沿v1与 v2矢量和的方向做匀速直线运动.由于分运动与合运动的等时性.船渡河时间等于v1分运动的时间. ⑴ 不论v1与v2的大小如何.船头v1的方向垂直指向河岸时.时间最短. ⑵ 因船速小于水速.故小船不能垂直过河.但有无最短航程呢? 虽然不能垂直过河.但有最短的路程.用画圆的方法可找出最短船程时夹角θ.并可找到这时速度之间关系满足的特征.如图. 则sinθ=v1/v2 S=d/sinθ . t=s/v合=d/(sinθ) 点评 ⑴ 不论v1与v2的大小如何.当船头v1的方向垂直指向河岸时.时间最短.且最短时间为 . ⑵ 当 时.合速度垂直过岸.航程最短为d .当 时不能垂直过岸.但仍有最短路程.此时船的实际航向与下游夹θ角.且sinθ=v1/v2 . 【查看更多】

     

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