(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是a的正方形. PA⊥平面ABCD.且PA=2AB (Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBD, (Ⅱ)求二面角B-PC-D的余弦值. 解:(Ⅰ)证明:∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD ∵ABCD为正方形 ∴AC⊥BD ∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内. ∴平面PAC⊥平面BPD 6分 (Ⅱ)解法一:在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N.连DN. ∵Rt△PBC≌Rt△PDC.由BN⊥PC得DN⊥PC, ∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角. 在△BND中.BN=DN=.BD= ∴cos∠BND = 解法二:以A为原点.AB.AD.AP所在直线分别为x轴.y轴.z轴建立空间坐标系如图.在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN. ∵Rt△PBC≌Rt△PDC.由BN⊥PC得DN⊥PC, ∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角 设 10分 12分 解法三:以A为原点.AB.AD.AP所在直线分别为x轴.y轴.z轴建立如图空间坐标系.作AM⊥PB于M.AN⊥PD于N.易证AM⊥平面PBC.AN⊥平面PDC. 设 ∵二面角B-PC-D的平面角与∠MAN互补 ∴二面角B-PC-D的余弦值为 12分 【
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