题目列表(包括答案和解析)
已知曲线上动点
到定点
与定直线
的距离之比为常数
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若过点引曲线C的弦AB恰好被点
平分,求弦AB所在的直线方程;
(3)以曲线的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与曲线
交于点
与点
,求
的最小值,并求此时圆
的方程.
【解析】第一问利用(1)过点作直线
的垂线,垂足为D.
代入坐标得到
第二问当斜率k不存在时,检验得不符合要求;
当直线l的斜率为k时,;,化简得
第三问点N与点M关于X轴对称,设,, 不妨设
.
由于点M在椭圆C上,所以.
由已知,则
,
由于,故当
时,
取得最小值为
.
计算得,,故
,又点
在圆
上,代入圆的方程得到
.
故圆T的方程为:
已知函数 R).
(Ⅰ)若 ,求曲线
在点
处的的切线方程;
(Ⅱ)若 对任意
恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
第一问中,利用当时,
.
因为切点为(
),
则
,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
第二问中,由题意得,即
即可。
Ⅰ)当时,
.
,
因为切点为(),
则
,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由题意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)
,
因为,所以
恒成立,
故在
上单调递增,
……12分
要使恒成立,则
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)当时,
在
上恒成立,
故在
上单调递增,
即
.
……10分
(2)当时,令
,对称轴
,
则在
上单调递增,又
① 当,即
时,
在
上恒成立,
所以在
单调递增,
即
,不合题意,舍去
②当时,
,
不合题意,舍去 14分
综上所述:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依题意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)设切点为(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切线过点A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.
∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2
画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范围是(-6,2).
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