第六部分 振动和波

第一讲 基本知识介绍

《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。

一、简谐运动

1、简谐运动定义：= －k             ①

凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。

谐振子的加速度：= －

2、简谐运动的方程

回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。

依据：_x = －mω²Acosθ= －mω²

对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω是恒定不变的，可以令：

mω² = k 

这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图1不难得出——

位移方程： = Acos(ωt + φ)                                        ②

速度方程： = －ωAsin(ωt +φ)                                     ③

加速度方程：= －ω²A cos(ωt +φ)                                   ④

相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。

运动学参量的相互关系：= －ω²

A = 

tgφ= －

3、简谐运动的合成

a、同方向、同频率振动合成。两个振动x₁ = A₁cos(ωt +φ₁)和x₂ = A₂cos(ωt +φ₂) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x₁ + x₂ ，解得

A =  ，φ= arctg 

显然，当φ₂－φ₁ = 2kπ时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，当φ₂－φ₁ = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。

b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动x = A₁cos(ωt + φ₁)和y = A₂cos(ωt + φ₂)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t后，得一般形式的轨迹方程为

+－2cos(φ₂－φ₁) = sin²(φ₂－φ₁)

显然，当φ₂－φ₁ = 2kπ时（k = 0，±1，±2，…），有y = x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；

当φ₂－φ₁ = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有+= 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；

当φ₂－φ₁取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。

c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令x₁ = Acos(ω₁t + φ)和x₂ = Acos(ω₂t + φ) ，由于合运动x = x₁ + x₂ ，得：x =（2Acost）cos（t +φ）。合运动是振动，但不是简谐运动，称为角频率为的“拍”现象。

4、简谐运动的周期

由②式得：ω=  ，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以

T = 2π                                                      ⑤

5、简谐运动的能量

一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即

= mv² + kx² = kA²

注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。

6、阻尼振动、受迫振动和共振

和高考要求基本相同。

二、机械波

1、波的产生和传播

产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素）

2、机械波的描述

a、波动图象。和振动图象的联系

b、波动方程

如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为y = Acos（ωt + φ），波的传播速度为v ，那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕

这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t ，都有一个y（x）的正弦函数，在x-y坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕为波动方程。

3、波的干涉

a、波的叠加。几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。

b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。

我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图2所示，我们用S₁和S₂表示两个波源，P表示空间任意一点。

当振源的振动方向相同时，令振源S₁的振动方程为y₁ = A₁cosωt ，振源S₁的振动方程为y₂ = A₂cosωt ，则在空间P点（距S₁为r₁ ，距S₂为r₂），两振源引起的分振动分别是

y₁′= A₁cos〔ω（t ? ）〕

y₂′= A₂cos〔ω（t ? ）〕

P点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（φ₁ =  ，φ₂ = ），且初相差Δφ= （r₂ – r₁）。根据前面已经做过的讨论，有

r₂ ? r₁ = kλ时（k = 0，±1，±2，…），P点振动加强，振幅为A₁ + A₂ ；

r₂ ? r₁ =（2k ? 1）时（k = 0，±1，±2，…），P点振动削弱，振幅为│A₁－A₂│。

4、波的反射、折射和衍射

知识点和高考要求相同。

5、多普勒效应

当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时，接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定量讨论可以分为以下三种情况（在讨论中注意：波源的发波频率f和波相对介质的传播速度v是恒定不变的）——

a、只有接收者相对介质运动（如图3所示）

设接收者以速度v₁正对静止的波源运动。

如果接收者静止在A点，他单位时间接收的波的个数为f ，

当他迎着波源运动时，设其在单位时间到达B点，则= v₁ ，、

在从A运动到B的过程中，接收者事实上“提前”多接收到了n个波

n = = = 

显然，在单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为：f + n = f ，这就是接收者发现的频率f₁ 。即

f₁ = f 

显然，如果v₁背离波源运动，只要将上式中的v₁代入负值即可。如果v₁的方向不是正对S ，只要将v₁出正对的分量即可。

b、只有波源相对介质运动（如图4所示）

设波源以速度v₂正对静止的接收者运动。

如果波源S不动，在单位时间内，接收者在A点应接收f个波，故S到A的距离：= fλ 

在单位时间内，S运动至S′，即= v₂ 。由于波源的运动，事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间里，波长将变短，新的波长

λ′= = = = 

而每个波在介质中的传播速度仍为v ，故“被压缩”的波（A接收到的波）的频率变为

f₂ = = f 

当v₂背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似a情形。

c、当接收者和波源均相对传播介质运动

当接收者正对波源以速度v₁（相对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度v₂（相对介质速度）运动，我们的讨论可以在b情形的过程上延续…

f₃ =  f₂ = f 

关于速度方向改变的问题，讨论类似a情形。

6、声波

a、乐音和噪音

b、声音的三要素：音调、响度和音品

c、声音的共鸣

第二讲 重要模型与专题

一、简谐运动的证明与周期计算

物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。

模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式①，值得注意的是，回复力系指振动方向上的合力（而非整体合力）。当简谐运动被证明后，回复力系数k就有了，求周期就是顺理成章的事。

本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x 、水银密度为ρ、U型管横截面积为S ，则次瞬时的回复力

ΣF = ρg2xS = x

由于L、m为固定值，可令： = k ，而且ΣF与x的方向相反，故汞柱做简谐运动。

周期T = 2π= 2π

答：汞柱的周期为2π 。

学生活动：如图6所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置，绕各自的轴线等角速、反方向地转动，在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚轮轴线的距离为L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为μ、木板的质量为m ，且木板放置时，重心不在两滚轮的正中央。试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周期。

思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）→ú力矩平衡和Σ?F₆= 0结合求两处弹力→ú求摩擦力合力…

答案：木板运动周期为2π 。

巩固应用：如图7所示，三根长度均为L = 2.00m地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。

解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠的质量为m ，即：

N = mg                            ①

再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力矩为零。以C点为转轴，形成力矩的只有松鼠的压力N、和松鼠可能加速的静摩擦力f ，它们合力矩为零，即：

M_N = M_f

现考查松鼠在框架上的某个一般位置（如图7，设它在导轨方向上距C点为x），上式即成：

N·x = f·Lsin60°                 ②

解①②两式可得：f = x ，且f的方向水平向左。

根据牛顿第三定律，这个力就是松鼠在导轨方向上的合力。如果我们以C在导轨上的投影点为参考点，x就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因素，松鼠的合力与位移满足关系——

= －k

其中k =  ，对于这个系统而言，k是固定不变的。

显然这就是简谐运动的定义式。

答案：松鼠做简谐运动。

评说：这是第十三届物理奥赛预赛试题，问法比较模糊。如果理解为定性求解，以上答案已经足够。但考虑到原题中还是有定量的条件，所以做进一步的定量运算也是有必要的。譬如，我们可以求出松鼠的运动周期为：T = 2π = 2π = 2.64s 。

二、典型的简谐运动

1、弹簧振子

物理情形：如图8所示，用弹性系数为k的轻质弹簧连着一个质量为m的小球，置于倾角为θ

 [选做题]本题包括A、B、C三个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若三题都做，则按A、B两题评分。

A．（选修模块3—3）（12分）

  （1）以下说法正确的是           。

    A．满足能量守恒的定律的宏观过程都是可以自发进行的

    B．熵是物体内分子运动无序程度的量度

    C．若容器中用活塞封闭着刚好饱和的一些水汽，当保持温度不变向下缓慢压活塞时，水汽的质量减少，密度不变。

    D．当分子间距离增大时，分子间引力增大，而分子间斥力减小

  （2）如图所示，由导热材料制成的气缸和活塞将一定质量的理想气体封闭在气缸内，活塞与气缸壁之间无摩擦，活塞上方存有少量液体，将一细管插入液体，利用虹吸收现象，使活塞上方液体缓慢流出，在些过程中，大气压强与外界的温度均保持不变，下列各个描述理想气体状态变化的图像中与上述过程相符合的是            图，该过程为       过程（选填“吸热”、“放热”或“绝热”）

       ①这段时间内的集热箱里气体共吸收的热量；

②太阳光照在集热板单位面积上的辐射功率。

B．（选修模块3—4）（12分）

  （1）下列说法中正确的是       

    A．散光比自然光的相干性好

    B．紫外线在水中的传播速度大于红外线在水中的传播速度

    C．在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆周期应该从小球经过最低点开始计时，以减小实验误差

    D．接收电磁波时首先要进行调频

  （2）如图所示，一个半径为R的透明圆柱体放置在水平面上，一束蓝光从A点沿水平方向垂直于左表面射入柱体后经B点射出，最后射到水平面上的C点。已知，该柱体对蓝光的折射率为，则它从右侧面射出时的出射角=   ；若将蓝光换成紫色，则它从柱体射出后落到水平面上形成的光点与C点相比，位置

                    （选填“偏左”、“偏右”或“不变”）。

（3）一列横波在某时刻的波动图像如图所示，从此时开始质点比质点早到达波谷。求：

②内质点通过的路程。

C．（选择模块3—5）（12分）

  （1）下列说法正确的是                 

    A．黑体辐射，随着温度的升高，一方面各种波长的辐射强度都有增加，加一方面辐射强度的极大值向波长较短的方向移动。

    B．原子核越大，它的结合能越高，原子核中核子结合得越牢固。

    C．在康普顿效应中，当入射光子与晶体中的电子碰撞时，把一部分动量转移给电子，因此光子散射后波长变长。

    D．4个放射性元素的原子核经过一个半衰期后一定还剩下2个没有发生衰变。

氢原子的能级示意图如图，那么①该群氢

原子可能发射              种频率的

光子。

②氢原子由的能级直接跃迁到

的能级时，辐射出的光子照射到逸出功为

的金属钾时能发生光电效应，由此

产生的光电子的最大的初动能是     

  （3）如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为的相同小球A、B、C现让A球以的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘合在一起，两球继续向右运动并跟C球碰撞，碰后C球的速度。求：

        ②两次碰撞过程中损失的总动能。

 [选做题]本题包括A、B、C三个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若三题都做，则按A、B两题评分。

A．（选修模块3—3）（12分）

   （1）以下说法正确的是           。

    A．满足能量守恒的定律的宏观过程都是可以自发进行的

    B．熵是物体内分子运动无序程度的量度

    C．若容器中用活塞封闭着刚好饱和的一些水汽，当保持温度不变向下缓慢压活塞时，水汽的质量减少，密度不变。

    D．当分子间距离增大时，分子间引力增大，而分子间斥力减小

   （2）如图所示，由导热材料制成的气缸和活塞将一定质量的理想气体封闭在气缸内，活塞与气缸壁之间无摩擦，活塞上方存有少量液体，将一细管插入液体，利用虹吸收现象，使活塞上方液体缓慢流出，在些过程中，大气压强与外界的温度均保持不变，下列各个描述理想气体状态变化的图像中与上述过程相符合的是            图，该过程为       过程（选填“吸热”、“放热”或“绝热”）

        ①这段时间内的集热箱里气体共吸收的热量；

②太阳光照在集热板单位面积上的辐射功率。

B．（选修模块3—4）（12分）

   （1）下列说法中正确的是       

    A．散光比自然光的相干性好

    B．紫外线在水中的传播速度大于红外线在水中的传播速度

    C．在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆周期应该从小球经过最低点开始计时，以减小实验误差

    D．接收电磁波时首先要进行调频

   （2）如图所示，一个半径为R的透明圆柱体放置在水平面上，一束蓝光从A点沿水平方向垂直于左表面射入柱体后经B点射出，最后射到水平面上的C点。已知，该柱体对蓝光的折射率为，则它从右侧面射出时的出射角=    ；若将蓝光换成紫色，则它从柱体射出后落到水平面上形成的光点与C点相比，位置

                     （选填“偏左”、“偏右”或“不变”）。

（3）一列横波在某时刻的波动图像如图所示，从此时开始质点比质点早到达波谷。求：

②内质点通过的路程。

C．（选择模块3—5）（12分）

   （1）下列说法正确的是                 

    A．黑体辐射，随着温度的升高，一方面各种波长的辐射强度都有增加，加一方面辐射强度的极大值向波长较短的方向移动。

    B．原子核越大，它的结合能越高，原子核中核子结合得越牢固。

    C．在康普顿效应中，当入射光子与晶体中的电子碰撞时，把一部分动量转移给电子，因此光子散射后波长变长。

    D．4个放射性元素的原子核经过一个半衰期后一定还剩下2个没有发生衰变。

氢原子的能级示意图如图，那么①该群氢

原子可能发射               种频率的

光子。

②氢原子由的能级直接跃迁到

的能级时，辐射出的光子照射到逸出功为

的金属钾时能发生光电效应，由此

产生的光电子的最大的初动能是     

   （3）如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为的相同小球A、B、C现让A球以的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘合在一起，两球继续向右运动并跟C球碰撞，碰后C球的速度。求：

        ②两次碰撞过程中损失的总动能。

（1）有两个单摆做简谐运动，位移与时间关系是：x₁=3asin(4πbt+π/4)和x₂=9asin(8πbt+π/2)，其中a、b为正的常数，则它们的：①振幅之比为__________；②摆长之比为_________。

（2）下列说法中正确的是______

A．变化的电场一定产生变化的磁场

B．白光通过三棱镜产生的彩色光带是光的干涉现象

C．发射电磁波时需要对电磁波信号进行调制

D．在不同的惯性系中，一切物理规律是相同的

（3）如图所示，直角玻璃棱镜中∠A=70°，入射光线垂直于AB面。已知玻璃的折射率为，光在AC面上反射后经BC面反射从AC面第一次射出，则光线在BC面_______（填“发生”或“不发生”）全反射，光线从棱镜AC边第一次射入空气时的折射角为_______。