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    10．设an＝1+++-+(n∈N*).是否存在n的整式g(n).使得等式a1+a2+-+an-1＝g(n)(an-1)对大于1的一切自然数n都成立?证明你的结论． [解] 假设g(n)存在.探索g(n)． 当n＝2时.由a1＝g(2)(a2-1)得g(2)＝2 当n＝3时.由a1+a2＝g(3)(a3-1)得g(3)＝3 当n＝4时.由a1+a2+a3＝g(4)(a4-1)得g(4)＝4 由此猜想g(n)＝n(n≥2.n∈N*) 下面用数学归纳法证明:当n≥2.n∈N*时.等式a1+a2+-+an-1＝n(an-1)成立． (1)当n＝2时.左边＝a1＝1.右边＝2(a2-1)＝2×＝1 ∴等式成立 (2)假设当n＝k(k≥2.k∈N*)时等式成立.即a1+a2+-+ak-1＝k(ak-1) 那么n＝k+1时.a1+a2+-+ak-1+ak＝k(ak-1)+ak＝(k+1)ak-k ＝(k+1)(ak+)-(k+1) ＝(k+1)ak+1-(k+1)＝(k+1)(ak+1-1) ∴当n＝k+1时.等式也成立 由可知.对于一切大于1的自然数n.都存在g(n)＝n.使等式a1+a2+-+an-1＝g(n)(an-1)都成立． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设an＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论．

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    已知数列{an}，a1＝1，点P(an，an＋1)(n∈N+)在直线x－y＋1＝0上．

    (1)求数列{an}的通项公式；

    (2)函数f(n)＝…＋(n∈N+)，且n≥2)，求函数f(n)的最小值．

    (3)设bn＝，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋……＋Sn－1＝(Sn－1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

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    已知数列{an}是首项为2的等比数列，且满足an+1＝pan＋2n(n∈N*)

    (1)求常数p的值和数列{an}的通项公式；

    (2)若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……第3n－2项，……余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，试写出数列{bn}的通项公式；

    (3)在(2)的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得＝？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．

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    设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线3x＋2y－3＝0上．
    (1)求数列{an}的通项公式；
    (2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．

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    设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线3x＋2y－3＝0上．

    (1)求数列{an}的通项公式；

    (2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．

     

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