例3 函数的定义域是全体实数.则实数m的取值范围是( )．A． B． C． D．解析:要使函数的定义域是全体实数.可转化为对一切实数都成立.即且．解得．故选(B) 幂函数中的三类讨论题 ——青夏教育精英家教网—

例3 函数的定义域是全体实数.则实数m的取值范围是( )．A． B． C． D．解析:要使函数的定义域是全体实数.可转化为对一切实数都成立.即且．解得．故选(B) 幂函数中的三类讨论题所谓分类讨论.实质上是“化整为零.各个击破.再积零为整的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则.方法与技巧.做到确定对象的全体.明确分类的标准.不重.不漏的分类讨论．在幂函数中.分类讨论的思想得到了重要的体现.可根据幂函数的图象和性质.依据幂函数的单调性分类讨论.使得结果得以实现．类型一:求参数的取值范围例1 已知函数为偶函数.且.求m的值.并确定的解析式．分析:函数为偶函数.已限定了必为偶数.且..只要根据条件分类讨论便可求得m的值.从而确定的解析式．解:∵是偶函数.∴应为偶数．又∵.即.整理.得.∴.∴．又∵.∴或1．当m=0时.为奇数,当时.为偶数．故m的值为1.．评注:利用分类讨论思想解题时.要充分挖掘已知条件中的每一个信息.做到不重不漏.才可为正确解题奠定坚实的基础．类型二:求解存在性问题例2 已知函数.设函数.问是否存在实数.使得在区间是减函数.且在区间上是增函数?若存在.请求出来,若不存在.请说明理由．分析:判断函数的单调性时.可以利用定义.也可结合函数的图象与性质进行判断.但要注意问题中符号的确定.要依赖于自变量的取值区间．解:∵.则．假设存在实数.使得满足题设条件. 设.则．若.易知..要使在上是减函数.则应有恒成立． ∵..∴．而. ∴.．从而要使恒成立.则有.即．若.易知.要使在上是增函数.则应有恒成立． ∵.. ∴.而.∴．要使恒成立.则必有.即．综上可知.存在实数.使得在上是减函数.且在上是增函数．评注:本题是一道综合性较强的题目.是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时.可从定义入手.也可根据函数图象和性质进行判断.但对分析问题和解决问题的能力要求较高.这在平时要注意有针对性的训练．类型三:类比幂函数性质.讨论函数值的变化情况例3 讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况．分析:首先应判定函数是否为常数函数.再看幂指数.并参照幂函数的性质讨论．解:(1)当.即或时.为常函数, (2)当时.或.此时函数为常函数, (3)即时.函数为减函数.函数值随x的增大而减小, (4)当即或时.函数为增函数.函数值随x的增大而增大, (5)当即时.函数为增函数.函数值随x的增大而增大, (6)当.即时.函数为减函数.函数值随x的增大而减小．评注:含参数系数问题.可以说是解题中的一个致命杀手.是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．幂函数习题幂函数这一知识点.表面上看内容少而且容易.实质上则不然．它蕴涵了数形结合.分类讨论.转化等数学思想.是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．例1 若.试求实数m的取值范围．错解:由图1可知解得 .且．剖析:函数虽然在区间和上分别具有单调性.但在区间上不具有单调性.因而运用单调性解答是错误的．正解: (1) 解得, (2)此时无解, (3). 解得．综上可得．现在把例1中的指数换成3看看结果如何．例2 若.试求实数m的取值范围．错解:由图2知. (1)1. 解得, (2)此时无解, (3). 解得．综上可得．剖析:很明显.此解法机械地模仿例1的正确解法.而忽视了函数间定义域的不同．由此.使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．正解:由于函数在上单调递增.所以.解得．例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解.激活了同学们的思维．下面再对和两个问题与解法进行探究．例3若.试求实数m的取值范围．解:由图3..解得．例4 若.试求实数m的取值范围．解析:作出幂函数的图象如图4．由图象知此函数在上不具有单调性.若分类讨论步骤较繁.把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑时.．于是有.即．又∵幂函数在上单调递增. ∴. 解得.或m＞4．上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性.于是巧妙运用转化思想解题.从而避免了分类讨论.使同学们的思维又一次得到深化与发展．解题点悟:通过以上探究.我们对幂函数的定义域.单调性.奇偶性及图象又有了较深刻的认识.同时对于形如(是常数)型的不等式的解法有了以下体会: (1)当.解法同例1 (2)当.解法同例2 (3)当.解法同例3 (4)当.解法同例4．编者点评:本文通过对一典型例题的多种变换.使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识.其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法.超出了我们的所学范围.但它其中蕴含的这种“转化的思想.一方面拓宽了我们的解题思路.同时也体现了对知识的灵活应用能力.当然此题还可用分类讨论的方法解决.同学们不妨一试．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

函数y=(mx2+4x+m+2)-

的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是

{m|m＞

5-1

}

{m|m＞

5-1

}

．

查看答案和解析>>

函数y=(mx2+4x+m+2)-