设函数在上满足. f(7-x)=f(7+x).且在闭区间［0.7］上.只有f(1)=f(3)=0. (Ⅰ)试判断函数y=f(x)的奇偶性, (Ⅱ)试求方程f(x)=0在闭区间［-2005.2005］上的根的个数.并证明你的结论． 解:由得即 由已知易得.所以.而.从而且 故函数是非奇非偶函数; (II)由 ,从而知函数的周期为 当时..由已知.又.则 ∴当时.只有 ∴方程=0在一个周期内只有两个解 而函数在闭区间［-2005.2005］共含有401个周期.所以方程=0在闭区间［-2005.2005］共含有802个解 [探索题]对于k∈Z.用Ik表示区间(2k-1.2k+1］.已知x∈Ik时.f(x)＝ (x-2k)2. (1)当k∈N*时,求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值} (2)并讨论f(x)的周期性. 解:y＝f(x)图像就是将y＝x2向右平移2k个单位所得.其中k∈N 设y1＝f(x),y2＝ax.由集合Mk可知.若a∈M.则函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有 两个交点.即当x＝2k+1时.0＜y2≤1 ∴0＜a≤ ∴Mk＝{a|0＜a≤.k∈N}.即Mk＝(0.］ 对任意 . 所以f(x)是2为周期的周期函数. 思路点拔:化简集合.弄清图像变换规律.数形结合求解,周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力 【
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(2005
广东，19)设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)=f(2＋x)，f(7－x)=f(7＋x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0；
(1)
试判断函数y=f(x)的奇偶性；
(2)
试求方程f(x)=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．
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