已知对于任意实数有下列不等式: ≥, ≥, 21世纪教育网 ≥. (1) 请从上述不等式中.归纳出一个对任意个实数都成立的不等式: (2) 请证明你归纳的不等式是恒成立的. 解:(1)对任意个实数都成立的不等式是: ≥ . (3分) (2)证法1: 由柯西不等式 得 ≥, 两边同除以,即得≥. (9分) 证法2: (1) 当时, ≥ 成立; (2) 假设当时不等式成立,即有 ≥, 那么, 当时, ≥ . 而 ≥. 故当时,不等式成立. 综合得不等式 ≥ 对任意个 实数都成立. (9分) 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知递增等差数列满足:,且成等比数列.

(1)求数列的通项公式

(2)若不等式对任意恒成立,试猜想出实数的最小值,并证明.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列公差为

由题意可知,即,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于,利用当时,;当时,;而,所以猜想,的最小值为然后加以证明即可。

解:(1)设数列公差为,由题意可知,即

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等价于

时,;当时,

,所以猜想,的最小值为.     …………8分

下证不等式对任意恒成立.

方法一:数学归纳法.

时,,成立.

假设当时,不等式成立,

时,, …………10分

只要证  ,只要证 

只要证  ,只要证 

只要证  ,显然成立.所以,对任意,不等式恒成立.…14分

方法二:单调性证明.

要证 

只要证  ,  

设数列的通项公式,        …………10分

,    …………12分

所以对,都有,可知数列为单调递减数列.

,所以恒成立,

的最小值为

 

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