题目列表(包括答案和解析)
下面的四个推理中,运用三段论推理的是
矩形是平行四边形,所以矩形的对角线互相平
分
17是质数,且17也是奇数,所以17是奇质数
因为a(b+c)=ab+ac,所以loga(b+c)=logab+logac
n=1,2时,方程xn+yn=zn都有正整数解,所以对任意的自然数n,方程xn+yn=zn都有正整数解
设点是抛物线
的焦点,
是抛物线
上的
个不同的点(
).
(1) 当时,试写出抛物线
上的三个定点
、
、
的坐标,从而使得
;
(2)当时,若
,
求证:;
(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:
“若,则
.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
【解析】第一问利用抛物线的焦点为
,设
,
分别过作抛物线
的准线
的垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得到
第二问设,分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得
第三问中①取时,抛物线
的焦点为
,
设,
分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
,
则,不妨取
;
;
;
解:(1)抛物线的焦点为
,设
,
分别过作抛物线
的准线
的垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
因为,所以
,
故可取满足条件.
(2)设,分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.
由抛物线定义得
又因为
;
所以.
(3) ①取时,抛物线
的焦点为
,
设,
分别过
作抛物线
的准线
垂线,垂足分别为
.由抛物线定义得
,
则,不妨取
;
;
;
,
则,
.
故,
,
,
是一个当
时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设,分别过
作
抛物线的准线
的垂线,垂足分别为
,
由及抛物线的定义得
,即
.
因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这
点都取在
轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则
,
而,所以
.
(说明:本质上只需构造满足条件且的一组
个不同的点,均为反例.)
③ 补充条件1:“点的纵坐标
(
)满足
”,即:
“当时,若
,且点
的纵坐标
(
)满足
,则
”.此命题为真.事实上,设
,
分别过作抛物线
准线
的垂线,垂足分别为
,由
,
及抛物线的定义得,即
,则
,
又由,所以
,故命题为真.
补充条件2:“点与点
为偶数,
关于
轴对称”,即:
“当时,若
,且点
与点
为偶数,
关于
轴对称,则
”.此命题为真.(证略)
已知函数,
.
(Ⅰ)若函数依次在
处取到极值.求
的取值范围;
(Ⅱ)若存在实数,使对任意的
,不等式
恒成立.求正整数
的最大值.
【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。
第二问中,利用存在实数,使对任意的
,不等式
恒成立转化为
,恒成立,分离参数法求解得到范围。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即
,即
.
转化为存在实数,使对任意的
,不等式
恒成立.
即不等式在
上恒成立.
即不等式在
上恒成立.
设,则.
设,则
,因为
,有
.
故在区间
上是减函数。又
故存在,使得
.
当时,有
,当
时,有
.
从而在区间
上递增,在区间
上递减.
又[来源:]
所以当时,恒有
;当
时,恒有
;
故使命题成立的正整数m的最大值为5
已知函数定义域为R,且
,对任意
恒有
,
(1)求函数的表达式;
(2)若方程=
有三个实数解,求实数
的取值范围;
【解析】第一问中,利用因为,对任意
恒有
,
第二问中,因为方程=
有三个实数解,所以
又因为当
;
当从而得到范围。
解:(1)因为,对任意
恒有
,
(2)因为方程=
有三个实数解,所以
又因为,当
;
当;当
,
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