解(I)由.得 由.得 由.得 由此猜想的一个通项公式:() 用数学归纳法证明: ①当时..不等式成立. ②假设当时不等式成立.即.那么 . 也就是说.当时. 据①和②.对于所有.有. (ii)由及(i).对.有 -- 于是. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

(I)求椭圆的方程;

(II)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足O为坐标原点),当 时,求实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的运用。

第一问中,利用

第二问中,利用直线与椭圆联系,可知得到一元二次方程中,可得k的范围,然后利用向量的不等式,表示得到t的范围。

解:(1)由题意知

 

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已知数列满足(I)求数列的通项公式;

(II)若数列,前项和为,且证明:

【解析】第一问中,利用

∴数列{}是以首项a1+1,公比为2的等比数列,即 

第二问中, 

进一步得到得    即

是等差数列.

然后结合公式求解。

解:(I)  解法二、

∴数列{}是以首项a1+1,公比为2的等比数列,即 

(II)     ………②

由②可得: …………③

③-②,得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤-④得

是等差数列.

     

 

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设函数f(x)=lnxgx)=ax+,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上,且在此点处f(x)与g(x)有公切线.[来源:学。科。网]

(Ⅰ)求a、b的值; 

(Ⅱ)设x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

【解析】第一问解:因为f(x)=lnxgx)=ax+

则其导数为

由题意得,

第二问,由(I)可知,令

,  …………8分

是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0,            …………9分

∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有

解:因为f(x)=lnxgx)=ax+

则其导数为

由题意得,

(11)由(I)可知,令

,  …………8分

是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0,            …………9分

∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有

 

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已知数列是首项为的等比数列,且满足.

(1)   求常数的值和数列的通项公式;

(2)   若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……,余下的项按原来的顺序组成一个新的数列,试写出数列的通项公式;

(3) 在(2)的条件下,设数列的前项和为.是否存在正整数,使得?若存在,试求所有满足条件的正整数的值;若不存在,请说明理由.

【解析】第一问中解:由,,

又因为存在常数p使得数列为等比数列,

,所以p=1

故数列为首项是2,公比为2的等比数列,即.

此时也满足,则所求常数的值为1且

第二问中,解:由等比数列的性质得:

(i)当时,

(ii) 当时,

所以

第三问假设存在正整数n满足条件,则

则(i)当时,

 

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已知函数f(x)=为常数。

(I)当=1时,求f(x)的单调区间;

(II)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求的取值范围。

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中,利用当a=1时,f(x)=,则f(x)的定义域是然后求导,,得到由,得0<x<1;由,得x>1;得到单调区间。第二问函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,则在区间[1,2]上恒成立,即即,或在区间[1,2]上恒成立,解得a的范围。

(1)当a=1时,f(x)=,则f(x)的定义域是

,得0<x<1;由,得x>1;

∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,上是减函数。……………6分

(2)。若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,

在区间[1,2]上恒成立。∴,或在区间[1,2]上恒成立。即,或在区间[1,2]上恒成立。

又h(x)=在区间[1,2]上是增函数。h(x)max=(2)=,h(x)min=h(1)=3

,或。    ∴,或

 

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