已知抛物线顶点D （0，

1

8

），且经过点A（1，

17

8

）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点F是坐标原点O关于该抛物线顶点的对称点，坐标为（0，

1

4

）．我们可以用以下方法求线段FA的长度；过点A作AA₁⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交AA₁于A₂，则FA₂=1，A₂A=

17

8

-

1

4

=

15

8

，在Rt△AFA₂中，有FA=

12+( 15 8 )2

=

17

8

．已知抛物线上另一点B的横坐标为2，求线段FB的长；
（3）若点P是该抛物线在第一象限上的任意一点，试探究线段FP的长度与点P纵坐标的大小关系，并证明你的猜想．

已知抛物线y=x²+（2n-1）x+n²-1（n为常数）．
（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
（2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标．如果不存在，请说明理由．

已知抛物线y=（m+1）x²-2mx+m（m为整数）经过点A（1，1），顶点为P，且与x轴有两个不同的交点．
（1）判断点P是否在线段OA上（O为坐标原点），并说明理由；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，且x₁＜x₂，是否存在实数m，使x₁＜m＜x₂？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．