题目列表(包括答案和解析)
设函数f(x)=在[1,+∞上为增函数.
(1)求正实数a的取值范围;
(2)比较的大小,说明理由;
(3)求证:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一问中,利用
解:(1)由已知:,依题意得:≥0对x∈[1,+∞恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f()=
(3) ∵ ∴
设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;
(Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线于轴的焦点为E,圆F的半径为,
则|FE|=,=,E是BD的中点,
(Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=,
设A(,),根据抛物线定义得,|FA|=,
∵的面积为,∴===,解得=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:;
(Ⅱ) 解析1∵,,三点在同一条直线上, ∴是圆的直径,,
由抛物线定义知,∴,∴的斜率为或-,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
设直线的方程为:,代入得,,
∵与只有一个公共点, ∴=,∴,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
∴坐标原点到,距离的比值为3.
解析2由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为
某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品.开始生产后,每满60分钟会一次性释放出有害气体am3,并迅速扩散到空气中.每次释放有害气体后,车间内的净化设备随即自动工作20分钟,将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%,然后停止工作,待下一次有害气体释放后再继续工作.安全生产条例规定:只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am3时才能正常进行生产.
(Ⅰ)当r=20时,该车间能否连续正常生产6.5小时?请说明理由;
(Ⅱ)能否找到一个大于20的数据r,使该车间能连续正常生产6.5小时?请说明理由;
(Ⅲ)(本小题为附加题,如果解答正确,加4分,但全卷总分不超过150分)
已知该净化设备的工作方式是:在向外释放出室内混合气体(空气和有害气体)的同时向室内放入等体积的新鲜空气.已知该净化设备的换气量是200m3/分,试证明该设备连续工作20分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体含量的20%以下.(提示:我们可以将净化过程划分成n次,且n趋向于无穷大.)
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