例1.设是至少含有两个元素的集合.在上定义了一个二元运算“* (即对任意的.对于有序元素对().在中有唯一确定的元素与之对应)．若对任意的.有.则对任意的.下列等式中不恒成立的是( ) A. B. C. D. 例2.已知是实数.函数.如果函数在区间上有零点.求的取值范围． 解析1:函数在区间[-1.1]上有零点.即方程=0在[-1.1]上有解. a=0时.不符合题意.所以a≠0,方程f(x)=0在[-1.1]上有解<=>或或或或a≥1. 所以实数a的取值范围是或a≥1. 解析2:a=0时.不符合题意.所以a≠0,又 ∴=0在[-1.1]上有解.在[-1.1]上有解在[-1.1]上有解.问题转化为求函数[-1.1]上的值域,设t=3-2x.x∈[-1.1].则.t∈[1,5],. 设.时..此函数g(t)单调递减.时.>0,此函数g(t)单调递增.∴y的取值范围是.∴=0在[-1.1]上有解ó∈或. 例3.已知是不全为零的实数.函数. ．方程有实数根.且的实数根都是的根,反之.的实数根都是的根. (1)求的值, (2)若.求的取值范围, (3)若..求的取值范围. 解:(1)设为方程的一个根.即.则由题设得．于是. .即． 所以.． 知.． 由得是不全为零的实数.且. 则． 方程就是．① 方程就是．② (ⅰ)当时..方程①.②的根都为.符合题意． (ⅱ)当.时.方程①.②的根都为.符合题意． (ⅲ)当.时.方程①的根为..它们也都是方程②的根.但它们不是方程的实数根． 由题意.方程无实数根.此方程根的判别式.得． 综上所述.所求的取值范围为． (3)由.得.. ．③ 由可以推得.知方程的根一定是方程的根． 当时.符合题意． 当时..方程的根不是方程 ④ 的根.因此.根据题意.方程④应无实数根． 那么当.即时..符合题意． 当.即或时.由方程④得. 即.⑤ 则方程⑤应无实数根.所以有且． 当时.只需.解得.矛盾.舍去． 当时.只需.解得． 因此.． 综上所述.所求的取值范围为． 【
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