函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象.抽象数量特征.建立函数关系.求得问题的解决 纵观近几年高考题.考查函数思想方法尤其是应用题力度加大.因此一定要认识函数思想实质.强化应用意识 典型题例示范讲解 例1设f(x)是定义在R上的偶函数.其图象关于直线x=1对称.对任意x1.x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0 (1)求f().f(); (2)证明f(x)是周期函数, (3)记an=f(2n+),求 命题意图 本题主要考查函数概念.图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识.还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系.抓住条件f(x1+x2)＝ f(x1)·f(x2)找到问题的突破口 错解分析 不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形 技巧与方法 由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键 (1) 解 因为对x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=, x∈［0,1］ 又因为f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2 f()=f(+)=f()·f()=［f()］2 又f(1)=a>0 ∴f()=a, f()=a (2)证明 依题意设y=f(x)关于直线x=1对称.故f(x)=f(1+1-x), 即 f(x)=f(2-x),x∈R 又由f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R 将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2).这表明f(x)是R上的周期函数.且2是它的一个周期 (3)解 由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］ ∵f()=f(n·)=f(+(n-1) )=f()·f((n-1)·)=-- =f()·f()·--·f() =［f()］n=a ∴f()=a 又∵f(x)的一个周期是2 ∴f(2n+)=f(), ∴an=f(2n+)=f()=a 因此an=a ∴ 例2甲.乙两地相距S千米.汽车从甲地匀速驶到乙地.速度不得超过c千米/小时.已知汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度v的平方成正比.比例系数为b,固定部分为a元 (1)把全程运输成本y(元)表示为v的函数.并指出这个函数的定义域, (2)为了使全程运输成本最小.汽车应以多大速度行驶? 命题意图 本题考查建立函数的模型.不等式性质.最值等知识.还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力 知识依托 运用建模.函数.数形结合.分类讨论等思想方法 错解分析 不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题.易忽略对参变量的限制条件 技巧与方法 四步法 求解,(4)评价 解法一 (1)依题意知.汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·=S(+bv) ∴所求函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c (2)依题意知.S.a.b.v均为正数 ∴S(+bv)≥2S ① 当且仅当=bv,即v=时.①式中等号成立 若≤c则当v=时.有ymin＝2S, 若>c,则当v∈(0,c时.有S(+bv)-S(+bc) =S［(-)+(bv-bc)］= (c-v)(a-bcv) ∵c-v≥0,且c>bc2, ∴a-bcv≥a-bc2>0 ∴S(+bv)≥S(+bc),当且仅当v=c时等号成立. 也即当v=c时.有ymin ＝S(+bc), 综上可知.为使全程运输成本y最小.当≤c时.行驶速度应为v=, 当>c时行驶速度应为v=c 解法二 (1)同解法一 (2)∵函数y=S(+bv), v∈, 当x∈(0, )时.y单调减小. 当x∈(,+∞)时y单调增加. 当x=时y取得最小值.而全程运输成本函数为y=Sb(v+),v∈(0,c ∴当≤c时.则当v=时.y最小.若>c时.则当v=c时.y最小 结论同上 例3 设函数f(x)的定义域为R.对任意实数x.y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4 (1)求证 f(x)为奇函数, (2)在区间［-9.9］上.求f(x)的最值 (1)证明 令x=y=0,得f(0)=0 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 (2)解 1°,任取实数x1.x2∈［-9,9］且x1＜x2,这时.x2-x1>0, f(x1)-f(x2)=f［(x1-x2)+x2］-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1) 因为x>0时f(x)＜0,∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)在［-9.9］上是减函数 故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9) 而f(9)=f=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12 ∴f(x)在区间［-9.9］上的最大值为12.最小值为-12 学生巩固练习 1 函数y=x+a与y=logax的图象可能是( ) 2 定义在区间的奇函数f(x)为增函数.偶函数g(x)在区间［0.+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) 其中成立的是( ) A ①与④ B ②与③ C ①与③ D ②与④ 3 若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根.则实数a的取值范围是 4 设a为实数.函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R (1)讨论f(x)的奇偶性,(2)求f(x)的最小值 5 设f(x)= (1)证明 f(x)在其定义域上的单调性, (2)证明 方程f-1(x)=0有惟一解, (3)解不等式f［x(x-)］< 6 定义在上的函数f(x)满足①对任意x.y∈,都有f(x)+f(y)=f();②当x∈时.有f(x)>0 求证 7 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池.由于地形限制.长.宽都不能超过16米.如果池外周壁建造单价为每米400元.中间两条隔墙建造单价为每米248元.池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计.且池无盖) (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式.并指出其定义域 (2)求污水处理池的长和宽各为多少时.污水处理池的总造价最低?并求最低总造价 8 已知函数f(x)在上有定义.且在上是增函数.f(1)=0,又g(θ)=sin2θ-mcosθ-2m,θ∈［0,］,设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N 【
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