3．解题方法:枚举法.插空法.隔板法． 典型例题 例1. 高三班分别有学生48,50,52人 (1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种? (2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种? (3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法? (4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组.共有多少种方法? 解:(1)48+50+52＝150种 (2)48×50×52＝124800种 (3) (4) 变式训练1:在直角坐标x-o-y平面上.平行直线x=n..y=n..组成的图形中.矩形共有( ) A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 解:在垂直于x轴的6条直线中任意取2条.在垂直于y轴的6条直线中任意取2条.这样的4 条直线相交便得到一个矩形.所以根据分步记数原理知道: 得到的矩形共有个. 故选D. 例2. (1) 将5封信投入6个信箱.有多少种不同的投法? (2) 设I＝{1,2,3,4,5,6}.A与B都是I的子集.A∩B＝{1,3,5}.则称(A,B)为理想配.所有理想配共有多少种? (3) 随着电讯事业的发展.许多地方电话号码升位.若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码.问升位后可多装多少门电话机? 解:(1)65 电话号码首位不为0:9×107-9×106＝8.1×107 变式训练2:一个圆分成6个大小不等的小扇形.取来红.黄.兰.白.绿.黑6种颜色. 请问:⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法? ⑵从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色, 则有 多少种不同的着色方法? 解:⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色,共有种着色方法. ⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有;因此满足条件的着色方法共有种着色方法. 例3. 如图A.B.C.D为海上的四个小岛.现在要建造三座桥.将这四个小岛连接起来.则不同的建桥方案有( ) D A A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 B C 解:第一类:从一个岛出发向其它三岛各建一桥.共有=4种方法, 第二类:一个岛最多建设两座桥.例如:A-B-C-D.D-C-B-A.这样的两个排列对应一种建桥方法.因此有种方法, 根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法 变式训练3:某公司招聘进8名员工.平均分给下属的甲.乙两个部门.其中两名翻译人员不能同时分给一个部门.另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门.求有多少种不同的分配方案． 解:用分步计数原理．先分英语翻译.再分电脑编程人员.最后分其余各人.故有2×(3+3)×3＝36种． 例4. 如图.小圆圈表示网络的结点.结点之间的连线表示它们有网线相连.连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息.信息可以沿不同的路径同时传递.则单位时间传递的最大信息量是( ) A.26 B.24 C.20 D.19 3 5 12 B 4 6 A 6 76 12 8 解:要完成的这件事是:“从A向B传递信息 .完成这件事有4类办法: 第一类:12 5 3 第二类 : 12 6 4 第三类 :12 6 7 第四类,:12 8 6 可见:第一类中单位时间传递的最大信息量是3,第二类单位时间传递的最大信息量是4, 第三类单位时间传递的最大信息量是6,第四类单位时间传递的最大信息量是6.所以由分类记数原理知道共有:3+4+6+6=19.故选D 变式训练4:7个相同的小球.任意放入4个不同的盒子.则每个盒子都不空的放法有多少种? 解:首先要清楚:“每个盒子都不空 的含义是“每个盒子里至少有1个球 . 于是.我们采用“隔板法 来解决.在7个小球中的每两个之间分别有6个空.我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板.则这3块隔板就把7个小球分成4部分.而且每一部分至少有1个球.即有=20种方法.又每一种分割方法都对应着一种放球的放法.所以共有20种放球放法. 注,(1)本题若采取“分类讨论 的方法来解决.则显得很麻烦,大家可以试一试. (2)隔板法只能用于“各个元素不加区别 的情况.否则不能使用. 两个原理的区别在于.前者每次得到的是最后的结果.后者每次得到的是中间结果.即每次仅完成整件事情的一部分.当且仅当几个步骤全部做完后.整件事情才算完成． 第2课时 排 列 基础过关 【
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