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    4．对于有多个约束条件的问题.先应该深入分析每个约束条件.再综合考虑如何分类或分步.但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题. 典型例题 例1. 五个人站成一排.求在下列条件下的不同排法种数: (1)甲必须在排头, (2)甲必须在排头.并且乙在排尾, (3)甲.乙必须在两端, (4)甲不在排头.并且乙不在排尾, (5)甲.乙不在两端, (6)甲在乙前, (7)甲在乙前.并且乙在丙前, (8)甲.乙相邻, (9)甲.乙相邻.但是与丙不相邻, (10)甲.乙.丙不全相邻 解析:(1)特殊元素是甲.特殊位置是排头,首先排“排头 有种.再排其它4个位置有种.所以共有:×=24种 (2)甲必须在排头.并且乙在排尾的排法种数:××=6种 (3)首先排两端有种.再排中间有种. 所以甲.乙必须在两端排法种数为:×=12种 (4)甲不在排头.并且乙不在排尾排法种数为:-2+=78种 (5)因为两端位置符合条件的排法有种.中间位置符合条件的排法有种. 所以甲.乙不在两端排法种数为×=36种 (6)因为甲.乙共有2!种顺序.所以甲在乙前排法种数为:÷2!=60种 (7)因为甲.乙.丙共有3!种顺序. 所以甲在乙前.并且乙在丙前排法种数为:÷3!=20种 (8)把甲.乙看成一个人来排有种.而甲.乙也存在顺序变化.所以甲.乙相邻排法种数为×=48种 (9)首先排甲.乙.丙外的两个有.从而产生3个空.把甲.乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有.而甲.乙也存在顺序变化.所以甲.乙相邻.但是与丙不相邻排法种数为××=24种 (10)因为甲.乙.丙相邻有×. 所以甲.乙.丙不全相邻排法种数为-×=84种 变式训练1:某栋楼从二楼到三楼共10级.上楼只许一步上一级或两级.若规定从二楼到三楼用8步走完.则不同的上楼方法有 ( ) A．45种 B．36种 C．28种 D．25种 解:C. 8步走10级.则其中有两步走两级.有6步走一级．一步走两级记为a.一步走一级记为b.所求转化为2个a和6个b排成一排.有多少种排法．故上楼的方法有C＝28种,或用插排法． 例2. (1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教.其中甲和乙不同去.甲和丙只能事去或同不去.则不同的选派方案菜有多少处? (2) 5名乒乓选手的球队中.有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1.2.3号参加团体比赛.则入选的3名队员中至少有一名老队员.且1.2号中至少有1名新队员的排法有多少种? 解:(1)分类:第一为甲丙都去.第二类不去共有种 (2)分类:第一类两名老队员都去.第二类去一名老队员共有种 变式训练2:某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单.开演前又增加了三个新节目.如果将这三个节目插入原来的节目单中.那么不同的插法种数是 ( ) A．504 B．210 C．336 D．120 解:A＝504 故选A 例3. 已知直线ax+by+c=0中的系数a.b.c是从集合{-3.-2.-1.0.1.2.3}中取出的三个不同的元素.且该直线的倾斜角为锐角.请问这样的直线有多少条? 解:首先把决定“直线条数 的特征性质.转化为对“a.b.c 的情况讨论. 设直线的倾斜角为.并且为锐角. 则tan=-＞0,不妨设a＞b,那么b＜0 当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条 当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条 故符合条件的直线有7+36=43条 变式训练3:将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去.要求每个部门至少分配一人.则不同的分配方案共有 种. 解: 例4. 从集合{1.2.3.--20}中任选3个不同的数.使这3个数成等差数列.这样的等差数列可以有多少个? 解:a.b.c a.b.c成等差数列 要么同为奇数.要么同为偶数.故满足题设的等差数列共有A+A＝180(个) 变式训练4:某赛季足球比赛中的计分规则是:胜一场得3分.平一场得1分.负一场得0分.一球 队打完15场.积33分.若不考虑顺序.该队胜负平的情况共有多少种? 解:设该队胜负平的情况是:胜x场.负y场.则平15-(x+y)场.依题意有:x≥9 .故有3种情况.即胜.负.平的场数是:9.0.6,10.2.3,11.4.0． 小结归纳 【查看更多】

     

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