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    12．(文)已知数列{an}的前n项和Sn＝-an-()n-1+2(n∈N*)． (1)令bn＝2nan.求证数列{bn}是等差数列.并求数列{an}的通项公式, (2)令cn＝an.求Tn＝c1+c2+-+cn的值． 解:(1)在Sn＝-an-()n-1+2中. 令n＝1.可得S1＝-a1-1+2＝a1.即a1＝. 当n≥2时.Sn-1＝-an-1-()n-2+2. ∴an＝Sn-Sn-1＝-an+an-1+()n-1. ∴2an＝an-1+()n-1.即2nan＝2n-1an-1+1. ∵bn＝2nan.∴bn＝bn-1+1. 即当n≥2时.bn-bn-1＝1. 又b1＝2a1＝1. ∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列． 于是bn＝1+(n-1)·1＝n＝2nan. ∴an＝. 得cn＝an＝(n+1)()n.所以 Tn＝2×+3×()2+4×()3+-+(n+1)·()n. ① Tn＝2×()2+3×()3+-+n·()n+(n+1)·()n+1. ② 由①-②得Tn＝1+()2+()3+-+()n-(n+1)·()n+1 ＝1+-(n+1)()n+1 ＝-. ∴Tn＝3-. (理)已知数列{an}是首项为a1＝.公比q＝的等比数列.设bn+2＝3logan(n∈N*).数列{cn}满足cn＝an·bn. (1)求证:{bn}是等差数列, (2)求数列{cn}的前n项和Sn, (3)若cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立.求实数m的取值范围． 解:(1)证明:由题意知.an＝()n(n∈N*)． ∵bn＝3logan-2.b1＝3loga1-2＝1. ∴bn+1-bn＝3logan+1-3logan＝3log＝3logq＝3. ∴数列{bn}是首项为b1＝1.公差为d＝3的等差数列． 知.an＝()n.bn＝3n-2(n∈N*). ∴cn＝(3n-2)×()n.(n∈N*). ∴Sn＝1×+4×()2+7×()3+-+(3n-5)×()n-1+(3n-2)×()n. 于是Sn＝1×()2+4×()3+7×()4+-+(3n-5)×()n+(3n-2)×()n+1. 两式相减得 Sn＝+3[()2+()3+-+()n]-(3n-2)×()n+1＝-(3n+2)×()n+1. ∴Sn＝-·()n(n∈N*)． (3)∵cn+1-cn＝(3n+1)·()n+1-(3n-2)·()n ＝9(1-n)·()n+1.(n∈N*)． ∴当n＝1时.c2＝c1＝. 当n≥2时.cn+1＜cn.即c1＝c2>c3>c4>->cn. ∴cn取得的最大值是. 又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立. ∴m2+m-1≥.即m2+4m-5≥0. 得m≥1或m≤-5. 【查看更多】

     

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