3．北京朝阳二模 如图.已知双曲线C:的右准线与一条渐近线交于点M.F是双曲线C的右焦点.O为坐标原点. (I)求证:, (II)若且双曲线C的离心率.求双曲线C的方程, 的条件下.直线过点A(0.1)与双曲线C右支交于不同的两点P.Q且P在A.Q之间.满足.试判断的范围.并用代数方法给出证明. 解:(I) 右准线.渐近线 --3分 (II) 双曲线C的方程为: --7分 (III)由题意可得 --8分 证明:设.点 由得 与双曲线C右支交于不同的两点P.Q --11分 .得 的取值范围是(0.1) --13分 已知函数.数列满足 (I)求数列的通项公式, (II)设x轴.直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为.求, (III)在集合.且中.是否存在正整数N.使得不等式对一切恒成立?若存在.则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N,若不存在.请说明理由. (IV)请构造一个与有关的数列.使得存在.并求出这个极限值. 解:(I) --1分 -- 将这n个式子相加.得 --3分 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积.该梯形的两底边的长分别为.高为1 --6分 (III)设满足条件的正整数N存在.则 又 均满足条件 它们构成首项为2010.公差为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N.则.解得 中满足条件的正整数N存在.共有495个. --9分 (IV)设.即 则 显然.其极限存在.并且 --10分 注:.等都能使存在. 【
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