例1利用向量知识证明下列各式 (1)x2+y2≥2xy (2)|x|2+|y|2≥2x·y 分析:(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式.以前可用求差法证得.而利用向量知识求证.则需构造向量.故形式上与向量的数量积产生联系 (2)题本身含有向量形式.可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证 证明:(1)设a＝(x.y).b＝(y.x)则a·b＝xy+yx＝2xy |a|·|b|＝ 又a·b＝|a|·|b|cosθ(其中θ为a.b夹角) ≤|a|·|b| ∴x2+y2≥2xy (2)设x.y的夹角为θ. 则x·y＝|x|·|y|cosθ≤|x|·|y|≤ ∴|x|2+|y|2≥2x·y 评述: (1)上述结论表明.重要不等式a2+b2≥2ab.无论对于实数还是向量.都成立 题证明过程中.由于|x|.|y|是实数.故可以应用重要不等式求证 例2利用向量知识证明 (a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)·(b12+b22) 分析:此题形式对学生较为熟悉.在不等式证明部分常用比较法证明.若利用向量知识求证.则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系.故需要构造向量 证明:设a＝(a1.a2).b＝(b1.b2) 则a·b＝a1b1+a2b2. |a|2＝a12+a22.|b|2＝b12+b22 ∵a·b＝|a|·|b|cosθ≤|a|·|b| (其中θ为a.b夹角) ∴(a·b)2≤|a|2·|b|2 ∴(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)·(b12+b22) 评述:此题证法难点在于向量的构造.若能恰当构造向量.则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会 例3已知f(x)＝ 求证:|f(a)-f(b)|＜|a-b|(a≠b) 分析:此题若用分析法证明.则需采用平方的手段以去掉绝对值.但由于f(a).f(b)是含有根式的式子.故需再次平方才能达到去根号的目的也可考虑构造向量法.利用向量的性质求证下面给出两种证法 证法一:∵f(a)＝. f(b)＝. ∴要证明|f(a)-f(b)|＜|a-b| 只需证明|-|2＜|a-b|2 即 1+a2+1+b2-2＜a2+b2-2ab 即 ＞1+ab 只需证明()2＞(1+ab)2 即1+a2+b2+a2b2＞1+2ab+a2b2 即a2+b2＞2ab ∵a2+b2≥2ab 又a≠b ∴a2+b2＞2ab ∴|f(a)-f(b)|＜|a-b| 证法二:设a＝(1.a).b＝(1.b) 则|a|＝.|b|＝ a-b＝(O.a-b) |a-b|＝|a-b| 由||a|-|b||≤|a-b|. (其中当|a|＝|b|即a＝b时.取“＝ .而a≠b) ∴||a|-|b||＜|a-b| 即|-|＜|a-b| ∴|f(a)-f(b)|＜|a-b| 评述:通过两种证法的比较.体会“构造向量法 的特点.加深对向量工具性作用的认识 上述三个例题.主要通过“构造向量 解决问题.要求学生在体验向量工具性作用的同时.注意解题方法的灵活性下面.我们通过下面的例题分析.让大家体会向量坐标运算的特点.以及“向量坐标化 思路在解题中的具体应用 例4已知:如图所示.ABCD是菱形.AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD分析:对于线段的垂直.可以联想到两个向量垂直的充要条件.而对于这一条件的应用.可以考虑向量式的形式.也可以考虑坐标形式的充要条件 证法一:∵＝+. ＝-. ∴·＝(+)·(-) ＝||2-||2＝O ∴⊥ 证法二:以OC所在直线为x轴.以B为原点建立直角坐标系.设B(O.O).A(a.b).C(c.O)则由|AB|＝|BC|得a2+b2＝c2 ∵＝-＝(c.O)-(a.b)＝(c-a.-b). ＝+＝(a.b)+(c.O)＝(c+a.b) ∴·＝c2-a2-b2＝O ∴⊥ 即 AC⊥BD 评述:如能熟练应用向量的坐标表示及运算.则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示.可以把几何问题的证明转化成代数式的运算.体现了向量的数与形的桥梁作用.有助于提高学生对于“数形结合 解题思想的认识和掌握 例5 若非零向量a和b满足|a+b|＝|a-b|证明:a⊥b 分析:此题在综合学习向量知识之后.解决途径较多.可以考虑两向量垂直的充要条件的应用.也可考虑平面图形的几何性质.下面给出此题的三种证法证法一: (根据平面图形的几何性质) 设＝a.＝b. 由已知可得a与b不平行. 由|a+b|＝|a-b|得以.为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等 所以平行四边形OACB是矩形. ∴⊥.∴a⊥b 证法二:∵|a+b|＝|a-b| ∴(a+b)2＝(a-b)2 ∴a2+2a·b+b2＝a2-2a·b+b2 ∴a·b＝O.∴a⊥b 证法三:设a＝(x1.y1).b＝(x2.y2). |a+b|＝. |a-b|＝. ∴ ＝. 化简得:x1x2+y1y2＝O. ∴a·b＝O.∴a⊥b 例6 已知向量a是以点A为起点.且与向量b＝垂直的单位向量.求a的终点坐标 分析:此题若要利用两向量垂直的充要条件.则需假设a的终点坐标.然后表示a的坐标.再根据两向量垂直的充要条件建立方程 解:设a的终点坐标为(m.n) 则a＝(m-3.n+1) ① ② 由题意 由①得:n＝(3m-13)代入②得 25m2-15Om+2O9＝O 解得 ∴a的终点坐标是( 评述:向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标.所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别.二者不能混淆 上述例题.主要体现了两向量垂直的充要条件的应用.在突出本章这一重点知识的同时.应引导学生注意解题方法的灵活性.尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用.将几何与代数知识沟通起来 【
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