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    3．函数的最大值与最小值: ⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数.y＝在内有导数.则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值,但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行: ① 求y＝在内的 值, ② 将y＝的各 值与.比较.其中最大的一个为最大值.最小的一个为最小值. (3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增.则为函数的 .为函数的 ,若函数y＝在[a ,b ]上单调递减.则为函数的 .为函数的 . 典型例题 例1. 已知f(x)=ex-ax-1. 的单调增区间, 在定义域R内单调递增.求a的取值范围, 在(-∞.0］上单调递减.在［0.+∞)上单调递增?若存在.求出a的值,若不存在.说明理由. 解:=ex-a. (1)若a≤0.=ex-a≥0恒成立.即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为. 在R内单调递增.∴≥0在R上恒成立. ∴ex-a≥0.即a≤ex在R上恒成立. ∴a≤(ex)min.又∵ex>0.∴a≤0. (3)方法一 由题意知ex-a≤0在(-∞.0］上恒成立. ∴a≥ex在(-∞.0］上恒成立.∵ex在(-∞.0］上为增函数. ∴x=0时.ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0.+∞)上恒成立. ∴a≤ex在［0.+∞)上恒成立.∴a≤1.∴a=1. 方法二 由题意知.x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1. 变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1. 在实数集R上单调递增.求实数a的取值范围, (2)是否存在实数a,使f上单调递减?若存在.求出a的取值范围,若不存在.说明理由, =x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. (1)解 由已知=3x2-a,∵f上是单调增函数. ∴=3x2-a≥0在上恒成立.即a≤3x2对x∈R恒成立. ∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时.=3x2≥0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数.则a≤0. (2)解 由=3x2-a≤0在上恒成立.得a≥3x2,x∈恒成立. ∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.当a=3时.=3(x2-1), 在x∈上.<0,即f上为减函数.∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f上单调递减. =a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方. 例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0.若x=时.y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值, 在［-3.1］上的最大值和最小值. 解 =x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b, 当x=1时.切线l的斜率为3.可得2a+b=0 ① 当x=时.y=f(x)有极值.则=0,可得4a+3b+4=0 ② 由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. =x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4, 令=0,得x=-2,x=. 当x变化时.y,y′的取值及变化如下表: x -3 -2 1 y′ + 0 - 0 + y 8 单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 单调递增 ↗ 4 ∴y=f(x)在［-3.1］上的最大值为13.最小值为 变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值. 解 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1. 导数y′的正负以及f如下表: x -2 -1 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4. 例3. 已知函数f(x)=x2e-ax ,求函数在［1.2］上的最大值. 解 ∵f(x)=x2e-ax,∴=2xe-ax+x2·(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<. ∴f,上是减函数.在上是增函数. ①当0<<1,即a>2时,f上是减函数, ∴f(x)max=f(1)=e-a. ②当1≤≤2,即1≤a≤2时. f(x)在上是增函数.在上是减函数. ∴f(x)max=f=4a-2e-2. ③当>2时.即0<a<1时.f上是增函数. ∴f(x)max=f(2)=4e-2a. 综上所述.当0<a<1时.f(x)的最大值为4e-2a, 当1≤a≤2时.f(x)的最大值为4a-2e-2, 当a>2时.f(x)的最大值为e-a. 变式训练3. 设函数f2,其中a∈R. (1)当a=1时.求曲线y=f处的切线方程, 的极大值和极小值. 解:=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,=-3x2+4x-1, -12+8-1=-5, ∴当a=1时.曲线y=f处的切线方程为 5x+y-8=0. 2=-x3+2ax2-a2x, =-3x2+4ax-a2=-, 令=0,解得x=或x=a. 由于a≠0.以下分两种情况讨论. ①若a>0.当x变化时.的正负如下表: x (-∞,) (,a) a - 0 + 0 - f(x) ­↘ ↗ 0 ↘ 因此.函数f(x)在x=处取得极小值f(). 且f()=- 函数f(x)在x=a处取得极大值f=0. ②若a<0.当x变化时.的正负如下表: x a (a,) (,+∞) - 0 + 0 - f(x) ↘­­­­ 0 ↗ - ↘ 因此.函数f(x)在x=a处取得极小值f=0, 函数f(x)在x=处取得极大值f(), 且f()=-. 例4. 某分公司经销某种品牌产品.每件产品的成本为3元.并且每件产品需向总公司交a元的管理费.预计当每件产品的售价为x元时.一年的销售量为2万件. (1)求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式, (2)当每件产品的售价为多少元时.分公司一年的利润L最大.并求出L的最大值Q(a). 解 (1)分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为:L=2,x∈［9,11］. (2) =2-2. 令=0得x=6+a或x=12. ∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤. 在x=6+a两侧L′的值由正变负. 所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时.Lmax=L2=9(6-a). ②当9≤6+a≤.即≤a≤5时. Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3. 所以 答 若3≤a＜.则当每件售价为9元时.分公司一年的利润L最大.最大值Q,若≤a≤5.则当每件售价为(6+a)元时.分公司一年的利润L最大.最大值Q(a)= . 变式训练4:某造船公司年造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3.成本函数为C(x)=460x+5 000.又在经济学中.函数f定义为Mf. 及边际利润函数MP(x), (2)问年造船量安排多少艘时.可使公司造船的年利润最大? 的单调递减区间.并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 解:=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*.且1≤x≤20); MP=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19). (2)=-30x2+90x+3 240=-30, ∵x>0,∴=0时,x=12. ∴当0<x<12时.>0,当x>12时.<0, ∴x=12时.P(x)有最大值. 即年造船量安排12艘时.可使公司造船的年利润最大. =-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以.当x≥1时.MP(x)单调递减. 所以单调减区间为［1.19］.且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加.每艘利润与前一艘比较.利润在减少. 小结归纳 研究可导函数的单调性.极值时.应先求出函数的导函数.再找出＝0的x取值或>0(<0)的x的取值范围． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，又当x＞0时，f(x)＜0，且f(2)＝－1．

    (1)求证：f(x)为奇函数；

    (2)试问函数f(x)在区间[－6，6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；若不存在，请说明理由．

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    设向量a＝(x，2)，b＝(x＋n，2x－1)(n∈N+)，函数y＝a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1＋(n－1)b2＋…＋2bn－1＋bn＝．

    (1)求证：an＝n＋1；

    (2)求bn的表达式；

    (3)cn＝－an·bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论．

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