[例1]已知a.b∈R.且a+b=1 求证: 证法一:比较法.作差消b,化为a的二次函数. 也可用分析法.综合法.反证法.实质与比较法相同. 证法二:∵ ∴左边＝ ＝右边 证法三:∵. 所以可设.. ∴左边＝ ＝右边 当且仅当t=0时.等号成立 点评:形如a+b=1结构式的条件.一般可以采用均值换元 证法四: 设y=(a+2)2+(b+2)2. 由a+b=1.有. 所以. 因为.所以.即 故 ◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系. [例2](1)设.且.求证: , (2)设.且.求证: [证明] (1)设 则 . =. (2)设. ∵.∴ . 于是. [例3]已知a＞1.n≥2.n∈N*. 求证:-1＜. 证法一:要证-1＜. 即证a＜(+1)n. 令a-1=t＞0.则a=t+1. 也就是证t+1＜(1+)n. ∵(1+)n=1+C+-+C()n＞1+t. 即-1＜成立. 证法二:设a=xn.x＞1. 于是只要证＞x-1. 即证＞n.联想到等比数列前n项和 =1+x+-+xn-1>n. ∴＞n. [例4]已知 的单调区间, (2)求证:x>y>0,有f; (3)若求证: 解: (1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 , (2)∵ ∴ 而 另法: ⑶ ∴ 点评:函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值. [研讨.欣赏]数列{an}满足a1=1且an+1= (n≥1) (1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2), (2)已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立.证明:an＜e2(n≥1).其中无理数e=2.71828-． 证明:(1)①当n=2时.a2=2≥2.不等式成立． ②假设当n=k(k≥2)时不等式成立.即ak≥2(k≥2). 那么ak+1=≥2．这就是说.当n=k+1时不等式成立． 根据①.②可知:ak≥2对所有n≥2成立． 的结论有 an+1=≤.(n≥1) 两边取对数并利用已知不等式得 lnan+1≤ln+lnan≤lnan+． 故lnan+1-lnan≤.(n≥1)． 上式从1到n-1求和可得 lnan-lna1≤++-++++-+ =1-++-=1-+1＜2. 即lnan＜2.故an＜e2 (n≥1)． 【
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