6．如图.已知等腰直角三角形RBC. 其中∠RBC＝90°.RB＝BC＝2.点A.D分别是 RB.RC的中点.现将△RAD沿着边AD折起到 △PAD位置.使PA⊥AB.连结PB.PC. (1)求证:BC⊥PB, (2)求二面角A-CD-P的平面角的余弦值． 解:(1)证明:点A.D分别是RB.RC的中点. ∴AD∥BC.AD＝BC. ∴∠PAD＝∠RAD＝∠RBC＝90°. ∴PA⊥AD.∴PA⊥BC. ∵BC⊥AB.PA∩AB＝A. ∴BC⊥平面PAB. ∵PB⊂平面PAB.∴BC⊥PB. (2)法一:取RD的中点F.连结AF.PF. ∵RA＝AD＝1. ∴AF⊥RC. ∵AP⊥AR.AP⊥AD. ∴AP⊥平面RBC. ∵RC⊂平面RBC. ∴RC⊥AP. ∵AF∩AP＝A. ∴RC⊥平面PAF. ∵PF⊂平面PAF. ∴RC⊥PF. ∴∠AFP是二面角A-CD-P的平面角． 在Rt△RAD中.AF＝RD＝＝. 在Rt△PAF中.PF＝＝. cos∠AFP＝＝＝. ∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是. 法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 则D.C. P． ∴＝.＝. 设平面PCD的法向量为n＝(x.y.z).则: 令x＝1.得y＝1.z＝-1. ∴n＝． 显然.是平面ACD的一个法向量.＝． ∴cos〈n.〉＝＝＝. ∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是. 【
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