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    教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出问题 1．函数f (x) = x2. 在上是减函数.在[0.+∞)上是增函数. 当x≤0时.f (x)≥f (0). x≥0时. f (x)≥f (0). 从而x?R. 都有f (x) ≥f (0). 因此x = 0时.f (0)是函数值中的最小值. 2．函数f (x) = –x2同理可知x?R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时. f (0)是函数值中的最大值. 师生合作回顾增函数.减函数的定义及图象特征, 师生合作定性分析函数f (x)的图象特征.通过图象观察.明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点.从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值. 应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值. 形成概念 函数最大值概念: 一般地.设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足: (1)对于任意x都有f (x) ≤M. (2)存在x0?I.使得f (x0) = M. 那么.称M是函数y = f (x) 的最大值. 师:对于函数y = f (x).f (x0)为其最大值. 即 f (x0)≤ f (x)意味着什么? 生:f (x0)为函数的最大值.必须满足: ①x0?定义域, ②f (x0) ?值域, ③f (x0)是整个定义域上函数值最大的. 由实例共性抽象获得最大值概念. 形成概念 函数最小值概念. 一般地:设函数y = f (x)的定义域为I.如果存在实数M.满足: (1)对于任意x?I.都有f (x)≥M. (2)存在x0?I.使得f (x0) = M. 那么.称M是函数y = f (x)的最小值. 师:怎样理解最大值. 生:最大值是特别的函数值.具备存在性.确定性. 师:函数最小值怎样定义? 师生合作.学生口述.老师评析并板书定义. 由最大值定义类比最小值定义. 应用举例 例1 “菊花 烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18.那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少? 训练题1: 已知函数f (x) = x2 – 2x – 3.若x?[t.t +2]时.求函数f (x)的最值. 例2 已知函数y =(x?[2.6]).求函数的最大值和最小值. 训练题2:设f (x)是定义在区间[–6.11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6.–2]上递减.在区间[–2.11]上递增.画出f (x) 的一个大致的图象.从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个 . 训练题3:甲.乙两地相距s km.汽车从甲地匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由可变部分和固 定部分组成.可变部分与速度x 的平方成正比.比例系数为a.固定部分为b元.请问.是不是汽车的行驶速度越快.其全程成本越小?如果不是.那么为了使全程运输成本最小.汽车应以多大的速度行驶? 师生合作讨论例1.例2的解法思想.并由学生独立完成训练题1.2.3. 老师点评. 阐述解题思想.板书解题过程. 例1解:作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象. 显然.函数图象的顶点就是烟花上升的最高点.顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻.纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识.对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18.我们有: 当t ==1.5时.函数有最大值 h =≈29. 于是.烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻.这时距地面的高度约为29m. 师:投影训练题1.2. 生:学生相互讨论合作交流完成. 训练题1解:∵对称轴x = 1. (1)当1≥t +2即t≤–1时. f (x)max­ = f (t) = t 2 –2t –3. f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3. (2)当≤1＜t +2.即–1＜t≤0时. f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3. f (x)min= f (1) = – 4. (3)当t≤1＜.即0＜t≤1. f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3. f (x)min = f (1) = – 4. (4)当1＜t.即t＞1时. f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3. f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3. 设函数最大值记为g(t).最小值记为(t)时.则有 g (t) = 例2分析:由函数y =(x?[2.6])的图象可知.函数y =在区间[2.6]上递减. 所以.函数y =在区间[2.6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解:设x1.x2是区间[2.6]上的任意两个实数.且x1＜x2.则 f (x1) – f (x2) = = =. 由2≤x1＜x2≤6.得x2 –x1＞0.(x1–1) (x2–1)＞0. 于是 f (x1) – f (x2)＞0. 即 f (x1)＞f (x2). 所以.函数y =是区间[2.6]上是减函数. 因此.函数y =在区间[2.6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.即在x =2时取得的最大值.最大值是2.在x = 6时的最小值.最小值是0.4. 训练题2答案:最小值. 训练题3分析:根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系.建立函数模型.结合函数式的特点.运用函数有关知识去解决. 解:设汽车运输成本为y元.依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为: y = b·+ ax2·. ∴y = s (a x +) . (其中x?. 即将此时的问题转化成:“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小?当x取何值时.y 取最小值? 下面讨论函数y = s (ax +)[x?.a＞0.b＞0]在其定义域内的单调性. 设x1.x2?.且x1＜x2.则 f (x1) – f (x2) = s[(ax1 +)– (ax2 +)] = s[a (x1– x2) +] = = ∵x1.x2＞0.且x1＜x2 ∴x1x2＞0.a (x1 – x2)＜0 ∴当x1.x2?(0.)时.x1.x2＜.x1x2 –＜0.∴f (x1)＞f (x2). 当x1.x2?[.+∞]时.x1x2＞.x1x2 –＞0.∴f (x1)＜ f (x2). 综上所述.我们看到函数y = s(ax +) (a＞0.b＞0)并不是整个区间上是随着x的不断增大而减小的.而且由上述分析可看出当x =时.y取得最小值即y min =2s. 那么.在这个实际问题当中可回答为:并不是汽车的行驶速度越快.其全程运输成本越小,并且为了使全程运输成本最小.汽车应以x =km / h的速度行驶. 自学与指导相结合.提高学生的学习能力. 讲练结合.形成技能固化技能.深化概念能力培养 进一步固化求最值的方法及步骤. (1)以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力.可见“逐渐增强函数的应用意识 应及早实现. (2)对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成.可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要.并且应指导学生养成多分析失败原因.多总结成功经验的好习惯. 归纳总结 1．最值的概念 2．应用图象和单调性求最值的一般步骤. 师生交流合作总结.归纳. 培养学生的概括能力 课后作业 1.3第二课时 习案 学生独立完成 能力培养 备选例题 例1 已知函数f (x ) =.x∈[1.+∞). (Ⅰ)当a =时.求函数f (x)的最小值, (Ⅱ)若对任意x∈[1.+∞).f (x)＞0恒成立.试求实数a的取值范围. 分析:对于(1).将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2.然后利用单调性求解. 对于(2).运用等价转化(x?[1.+∞)恒成立.等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立.进而解出a的范围. 解:(1)当a =时.f (x) = x ++2 因为f (x)在区间[1.+∞)上为增函数. 所以f (x)在区间[1.+∞)上的最小值为f (1) =. (2)解法一:在区间[1.+∞)上.f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立. 设y = x2 +2x+a.∵(x + 1) 2 + a –1在[1.+∞)上递增. ∴当x =1时.ymin =3 + a.于是当且仅且ymin =3 + a＞0时.函数f (x)＞0恒成立. ∴a＞–3. 解法二:f (x) = x ++2 x[1.+∞). 当a≥0时.函数f (x)的值恒为正,当a＜0时.函数f (x)递增. 故当x =1时.f (x)min = 3+a. 于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时.函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3. 例2 已知函数f (x)对任意x.y?R.总有f (x) + f ( y) = f (x + y).且当x＞0时.f (x)＜0.f (1) =. (1)求证f (x)是R上的减函数, (2)求f (x)在[–3.3]上的最大值和最小值. 分析:抽象函数的性质要紧扣定义.并同时注意特殊值的应用. 证明:(1)令x = y =0.f (0) = 0.令x = – y可得: f (–x) = – f (x). 在R上任取x1＞x2.则f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2). ∵x1＞x2.∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时.f (x)＜0.∴f (x1–x2)＜0. 即f (x1) – f (x2)＞0. 由定义可知f (x)在R上为单调递减函数. (2)∵f (x)在R上是减函数.∴f (x)在[–3.3]上也是减函数. ∴f (–3)最大.f (3)最小. f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2. ∴f (–3) = – f (3) =2. 即f (–3)在[–3.3]上最大值为2.最小值为–2. 【查看更多】

     

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