题目列表(包括答案和解析)
如图,在三棱柱中,
侧面
,
为棱
上异于
的一点,
,已知
,求:
(Ⅰ)异面直线与
的距离;
(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.
【解析】第一问中,利用建立空间直角坐标系
解:(I)以B为原点,、
分别为Y,Z轴建立空间直角坐标系.由于,
在三棱柱中有
,
设
又侧面
,故
. 因此
是异面直线
的公垂线,则
,故异面直线
的距离为1.
(II)由已知有故二面角
的平面角
的大小为向量
与
的夹角.
如图所示的长方体中,底面
是边长为
的正方形,
为
与
的交点,
,
是线段
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又
平面
,
平面
,∴
平面
由
,
,又
,∴
平面
.
可得证明
(3)因为∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴利用法向量的夹角公式,
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
.
方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点
、
,
∴,又点
,
,∴
∴,且
与
不共线,∴
.
又平面
,
平面
,∴
平面
.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,
,即
,
,
又,∴
平面
. ………8分
(Ⅲ)∵,
,∴
平面
,
∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
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