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    (湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知点(an,an-1)在曲线f(x)＝上, 且a1＝1. (1)求f(x)的定义域; (2)求证: (n∈N*) (3)求证: 数列{an}前n项和 (n≥1, n∈N*) 解:(1) 由f(x)＝知x满足: x2+ ≥0, ∴ ≥0 , ∴≥0 ∴ ≥0, 故x＞0, 或x≤-1. f(x)定义域为: (2)∵ an+12＝an2+ , 则an+12-an2 ＝ 于是有: ＝ an+12-a12 ＝ an+12-1 要证明: 只需证明: ( *) 下面使用数学归纳法证明: (n≥1,n∈N*) ①在n＝1时, a1＝1, ＜a1＜2, 则n＝1时 (* )式成立. ②假设n＝k时, 成立, 由 要证明: 只需2k+1≤ 只需(2k+1)3≤8k(k+1)2 只需证: , 只需证: 4k2+11k+8＞0, 而4k2+11k+8＞0在k≥1时恒成立. 于是: . 因此 得证. 综合①②可知( *)式得证, 从而原不等式成立. (3)要证明: , 由(2)可知只需证: (n≥2) (** ) 下面用分析法证明: 成立, 只需证: (3n-2)＞(3n-1) 即只需证: (3n-2)3n＞(3n-1)3(n-1), 只需证:2n＞1. 而2n＞1在n≥1时显然成立,故(**)式得证. 于是由(**)式可知有: + +-+≤ 因此有: Sn＝a1+a2+-+an≤1+2 ＝ 【查看更多】

     

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